Θέματα προκριματικού νέων 2026

Pistodoulos · #1

Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων x,y

που επαληθεύουν την εξίσωση:
(x-y)(xy+3)=21-(xy)^2

Πρόβλημα 2:
Έστω ABC

τρίγωνο με AB=AC<BC

. Στην προέκταση του

προς το

βρίσκεται σημείο

ώστε

.
Επίσης υπάρχει σημείο

στην ίδια ευθεία στην προέκταση της από το

ώστε

. Η παράλληλη από το

στο τμήμα

τέμνει την

σε σημείο

. Στην ημιευθεία

υπάρχει σημείο

ώστε

. Αποδείξετε ότι τα σημεία A,B,C

και

είναι ομοκυκλά
Πρόβλημα 3:
Έστω a,b,c

πραγματικοί αριθμοί ώστε ab+bc+ca=-3

και

Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$
Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το

ως το

πλέγμα

, όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο

και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο

να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.

: ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png (322.63 KiB) Προβλήθηκε 1588 φορές

#2

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ευχαριστούμε για την ανάρτηση των θεμάτων.

Θα σε παρακαλέσω να γράψεις (διορθώσεις) το παραπάνω κείμενό σου ώστε να είναι σε latex, όπως πολύ σωστά ορίζουν οι κανονισμοί μας. Δεν είναι της ώρας για να εξηγώ γιατί είναι σωστός αυτός ο κανονισμός, πάντως είναι ο ίδιος για όλους μας και τον τηρούν όλοι.

Fotis34 · #3

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων που επαληθεύουν την εξίσωση:

Λύση 1
Θέτουμε:
$\displaystyle t=xy.$

Η εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle (x-y)(t+3)=21-t^2.$

Γράφουμε:
$\displaystyle 21-t^2 = 12 - (t+3)(t-3).$

Άρα:
$\displaystyle (x-y)(t+3) = 12 - (t+3)(t-3).$

Μεταφέρουμε:
$\displaystyle (x-y)(t+3) + (t+3)(t-3) = 12.$

Παίρνουμε κοινό παράγοντα (t+3)

:
$\displaystyle (t+3)\big[(x-y) + (t-3)\big] = 12.$

Επομένως:
$\displaystyle t+3 \mid 12.$

Άρα:
$\displaystyle t+3 \in \{1,2,3,4,6,12\} \Rightarrow t \in \{0,1,3,9\}.$

Έλεγχος:

- $t=0 \Rightarrow (x,y)=(7,0)$
- $t=3 \Rightarrow (x,y)=(3,1)$

Οι υπόλοιπες τιμές δεν δίνουν λύσεις.

$\displaystyle \boxed{(x,y)=(7,0),\ (3,1)}.$

Λύση 2

Θέτουμε:
$\displaystyle t=xy.$

Η εξίσωση γίνεται:
$\displaystyle (x-y)(t+3)=21-t^2.$

Αναπτύσσουμε:
$\displaystyle t^2 + (x-y)t + 3(x-y) - 21 = 0.$

Θεωρούμε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

:
$\displaystyle t^2 + (x-y)t + (3(x-y)-21)=0.$

Η διακρίνουσα είναι:
$\displaystyle \Delta = (x-y)^2 - 4(3(x-y)-21).$

Άρα:
$\displaystyle \Delta = (x-y)^2 - 12(x-y) + 84 = (x-y-6)^2 + 48.$

Θέλουμε $\Delta$ τέλειο τετράγωνο:
$\displaystyle (x-y-6)^2 + 48 = k^2.$

Λύνοντας προκύπτουν:
$\displaystyle xy \in \{0,3\}.$

Έλεγχος δίνει:
$\displaystyle (x,y)=(7,0),\ (3,1).$

$\displaystyle \boxed{(x,y)=(7,0),\ (3,1)}.$

Λύση 3

Θέτουμε:
$\displaystyle t=xy.$

Από την εξίσωση:
$\displaystyle (x-y)(t+3)=21-t^2$

παίρνουμε:
$\displaystyle x-y = \frac{21-t^2}{t+3}.$

Κάνουμε διαίρεση:
$\displaystyle \frac{21-t^2}{t+3} = \frac{12}{t+3} - (t-3).$

Άρα:
$\displaystyle x-y = \frac{12}{t+3} - (t-3).$

Για να είναι ακέραιος:
$\displaystyle t+3 \mid 12.$

Επομένως:
$\displaystyle t \in \{0,1,3,9\}.$

Έλεγχος δίνει:
$\displaystyle (x,y)=(7,0),\ (3,1).$

$\displaystyle \boxed{(x,y)=(7,0),\ (3,1)}.$

#4

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png

: μέγ αθρ.png (32.05 KiB) Προβλήθηκε 1346 φορές

.
Βάφουμε τα τετράγωνα του πλαισίου λευκά/μαύρα σαν σε μία σκακίερα, όπως στην εικόνα. Μια κατάλληλη διαδρομή από τετράγωνο σε γειτονικό τετράγωνο πηγαίνει εναλλάξ από λευκό σε μαύρο τετράγωνο και αντίστροφα. Αφού θέλουμε να αρχίζει και να τελειώνει σε λευκό, σημαίνει ότι πρέπει να μην επισκεφθεί τουλάχιστον ένα τετράγωνο (γιατί αν περνούσε από όλα, και τα

, θα έπρεπε το τελευταίο να είναι μαύρο). Θα βρούμε διαδρομή που αφήνει έξω μόνο ένα τετράγωνο. Το τετράγωνο αυτό πρέπει να είναι μαύρο αφού τα λευκά είναι περισσότερα δεδομένου ότι, όπως επισημάναμε, η διαδρομή αρχίζει και να τελειώνει σε λευκό.

Παρατηρούμε ότι τα μαύρα τετράγωνα είναι αριθμημένα με τους αριθμούς

έως

. Συνεπώς θα πετύχουμε το μέγιστο δυνατό άθροισμα αν αφήσουμε έξω από την διαδρομή μας εκείνο το μαύρο τετράγωνο που έχει τον μικρότερο αριθμό, δηλαδή τον

. Μία τέτοια διαδρομή έχει σχεδιαστεί, και είναι η ζητούμενη. Το μέγιστο, λοιπόν, άθροισμα είναι το (1+2+...+36)-19=647

STOPJOHN · #5

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων που επαληθεύουν την εξίσωση:

Πρόβλημα 2:
Έστω τρίγωνο με . Στην προέκταση του προς το βρίσκεται σημείο ώστε .
Επίσης υπάρχει σημείο στην ίδια ευθεία στην προέκταση της από το ώστε . Η παράλληλη από το στο τμήμα τέμνει την σε σημείο . Στην ημιευθεία υπάρχει σημείο ώστε . Αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλά
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$
Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png

Καλημέρα Χρόνια Πολλά με υγεία

Εστω $AB=AC=b=AD=DZ,BC=AD=BE=a,\hat{ABC}=\phi ,\hat{BKA}=\theta ,AZ=BK=d.$ $DZ//BC\Rightarrow \hat{DEZ}=\hat{DZE}=\hat{BCE}=\dfrac{\phi }{2},\dfrac{DZ}{BL}=\dfrac{AZ}{AL}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow BL=\dfrac{b^{2}}{a},AL=\dfrac{bd}{a},(*)$

Στο τρίγωνο

$AZD,AZ^{2}=AD^{2}+DZ^{2}-2AD.DZ.cos\phi \Rightarrow d=b,AK=AB(**), (*) ,(**)\Rightarrow BL=AL,\hat{\theta }=\hat{\phi }$

Προσθέτω ενα δεύτερο ερώτημα Να αποδειχθεί οτι ο κύκλος (B,K,L)

εφάπτεται στην

Fotis34 · #6

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png

Καλησπέρα. Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση: αν γράψεις ότι, με δοκιμές, βρίσκω μέγιστο άθροισμα με παράλειψη μόνο το κουτάκι με τον αριθμό $\displaystyle{19}$ είναι εντάξει; Παίρνει όλες τις μονάδες;

Τσιαλας Νικολαος · #7

Καλησπέρα Φώτη. Οι δοκιμές δεν αποδεικνύουν κάτι. Οπότε δεν νομίζω ότι θα έπαιρνες κάτι αν το έγραφες.

Fotis34 · #8

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2026 7:10 pm
Καλησπέρα Φώτη. Οι δοκιμές δεν αποδεικνύουν κάτι. Οπότε δεν νομίζω ότι θα έπαιρνες κάτι αν το έγραφες.

Σας ευχαριστώ.

Fotis34 · #9

Αποτελέσματα ΜΕΓΑΛΩΝ:

https://hms.gr/wp-content/uploads/2026/ ... Y-2026.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα σε όλα τα μέλη του

!!!

Edit 9:55μμ. Τα αποτελέσματα των ΜΙΚΡΩΝ πότε να τα περιμένουμε;

Ορέστης Λιγνός · #10

Συγχαρητήρια στον φίλο μου Λάζαρο Καραγεωργίου που προκρίθηκε ως πρώτος στην φετινή ΒΜΟ

Περιμένουμε...

Fotis34 · #11

Τα αποτελέσματα των ΜΙΚΡΩΝ:

https://hms.gr/wp-content/uploads/2026/ ... ESMATA.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους!!!

Fotis34 · #12

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$

Μπορείς κάποιος να αναρτήσει λύση;

Belias · #13

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 22, 2026 10:15 pm

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$
Μπορείς κάποιος να αναρτήσει λύση;

Επειδή
$\displaystyle (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0,$ έχουμε
$\displaystyle a+b+c = 0.$
WLOG υποθέτουμε $a \ge b \ge c$ . Έχουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

1: $a \ge 0 \ge b \ge c$ , όπου |a| = |b| + |c|

.

2: $a \ge b \ge 0 \ge c$ , όπου |c| = |a| + |b|

.

Σε κάθε περίπτωση το μέγιστο των |a|,|b|,|c|

ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο.

Βάζουμε |a|=x, |b|=y, |c|=z

. Αρκεί να δείξουμε την περίπτωση x=y+z

.

Θνδο
$\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)(x+y+z-4) \ge 0.$
Αφού x=y+z

, είναι
$\displaystyle x+y+z-4 = 2(y+z-2) = 2(x-2),$ οπότε αρκεί να δείξουμε ότι
$\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)(x-2) \ge 0.$
Επειδή
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=6 \quad \text{και} \quad x=y+z,$ ισχύει ότι
$\displaystyle y^2+z^2+yz=3.$
Τότε
$\displaystyle x^2 = y^2+z^2+2yz = 3+yz \ge 3,$ άρα $x \ge \sqrt{3}$ .

Από AM-GM,
$\displaystyle x^2 \ge 4yz = 4(x^2-3),$ δηλαδή
$\displaystyle 12 \ge 3x^2 \Rightarrow x \le 2.$
Έπεται $\sqrt{3} \le x \le 2$ , και άρα
$\displaystyle (x-1) \ge 0, \quad (x-2) \le 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) \le 0.$
Τώρα,
$\displaystyle (y-1)(z-1) = yz - y - z + 1 = (x^2-3) - x + 1 = x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$ Επειδή $x-2 \le 0$ και $x+1 \ge 0$ , έχουμε
$\displaystyle (y-1)(z-1) \le 0.$
Έπεται
$\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)(x-2) \ge 0,$ όπως θέλαμε.

Η άλλη περίπτωση λύνεται ανάλογα.

Μια άλλη λύση είναι να ομογενοποιήσουμε και να φτιάξουμε μια συνάρτηση ως προς

που εκφράζει την αριστερή μεριά με τις δύο σχέσεις και μετά να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους, αν και δεν είμαι σίγουρος κατά πόσο είναι εύκολες οι πράξεις.

ΥΓ: Για κάποιο λόγο το LaTeX δεν εμφανίζεται όπως θα έπρεπε. Ξέρει κανείς γιατί;

Belias · #14

STOPJOHN έγραψε: ↑
Τρί Απρ 14, 2026 8:35 am

Προσθέτω ενα δεύτερο ερώτημα Να αποδειχθεί οτι ο κύκλος

εφάπτεται στην

$\angle BKL = \angle BKA = \angle BCA = \angle ABL$ και το ζητούμενο έπεται.

Ιωάννης Μελισσουργός · #15

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 22, 2026 10:15 pm

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$
Μπορείς κάποιος να αναρτήσει λύση;

Αρχικά παρατηρούμε οτι αφου ab+bc+ca=-3<0

κάποιο από τα γινόμενα θα είναι αρνητικό, δηλαδή θα έχουμε 2 ετερόσημους αριθμούς.

Επιπλέον, μπορούμε να υπθέσουμε χωρίς βλάβη ότι $c<0\leq b\leq a$ , αφού αν κάνουμε τον μετασχηματισμό $(a,b,c)\rightarrow (-a, -b, -c)$ τα δεδομένα του προβλήματος και η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε δεν αλλάζουν. Τότε έχουμε
$\displaystyle{(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)=6-6=0\Leftrightarrow c=-(a+b)}$
Άρα, αντικαθιστώντας και απλοποιώντας στην προς απόδειξη ανισότητα, έχουμε
$\displaystyle{ab+b(-a-b)+(-a-b)a=-3\Leftrightarrow a^2+ab+b^2=3}$
και αρκεί να δείξουμε οτι
$\displaystyle{(a-1)(b-1)(a+b-1)(a+b-2)\geq 0}$
Έχουμε λοιπόν

$3=a^2+ab+b^2\geq b^2+b^2+b^2=3b^2\Leftrightarrow b^2\leq 1\Leftrightarrow b\leq 1\Leftrightarrow b-1\leq 0\quad(1)$
$3=a^2+ab+b^2\leq a^2+a^2+a^2=3a^2\Leftrightarrow a^2\geq 1 \Leftrightarrow a\geq 1\Leftrightarrow a-1\geq 0\quad(2)$
$3=a^2+ab+b^2\geq 3ab\Leftrightarrow ab\leq 1$ οπότε $(a+b)^2=3+ab\leq 4\Leftrightarrow a+b\leq 2\Leftrightarrow a+b-2\leq 0\quad(3)$
$(a+b)^2=3+ab>1\Leftrightarrow a+b>1\Leftrightarrow a+b-1>0\quad(4)$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη έχουμε το ζητούμενο.

Ιωάννης Μελισσουργός · #16

Belias έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 25, 2026 12:13 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Απρ 22, 2026 10:15 pm

Pistodoulos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 11:01 pm
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι $(|a|-1)(|b|-1)(|c|-1)(|a|+|b|+|c|-4) \geq 0$
Μπορείς κάποιος να αναρτήσει λύση;

Επειδή
$\displaystyle (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0,$ έχουμε
$\displaystyle a+b+c = 0.$
WLOG υποθέτουμε $a \ge b \ge c$ . Έχουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:

1: $a \ge 0 \ge b \ge c$ , όπου .

2: $a \ge b \ge 0 \ge c$ , όπου .

Σε κάθε περίπτωση το μέγιστο των ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο.

Βάζουμε . Αρκεί να δείξουμε την περίπτωση .

Θνδο
$\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)(x+y+z-4) \ge 0.$
Αφού , είναι
$\displaystyle x+y+z-4 = 2(y+z-2) = 2(x-2),$ οπότε αρκεί να δείξουμε ότι
$\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)(x-2) \ge 0.$
Επειδή
$\displaystyle x^2+y^2+z^2=6 \quad \text{και} \quad x=y+z,$ ισχύει ότι
$\displaystyle y^2+z^2+yz=3.$
Τότε
$\displaystyle x^2 = y^2+z^2+2yz = 3+yz \ge 3,$ άρα $x \ge \sqrt{3}$ .

Από AM-GM,
$\displaystyle x^2 \ge 4yz = 4(x^2-3),$ δηλαδή
$\displaystyle 12 \ge 3x^2 \Rightarrow x \le 2.$
Έπεται $\sqrt{3} \le x \le 2$ , και άρα
$\displaystyle (x-1) \ge 0, \quad (x-2) \le 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) \le 0.$
Τώρα,
$\displaystyle (y-1)(z-1) = yz - y - z + 1 = (x^2-3) - x + 1 = x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).$ Επειδή $x-2 \le 0$ και $x+1 \ge 0$ , έχουμε
$\displaystyle (y-1)(z-1) \le 0.$
Έπεται
$\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)(x-2) \ge 0,$ όπως θέλαμε.

Η άλλη περίπτωση λύνεται ανάλογα.

Μια άλλη λύση είναι να ομογενοποιήσουμε και να φτιάξουμε μια συνάρτηση ως προς που εκφράζει την αριστερή μεριά με τις δύο σχέσεις και μετά να χρησιμοποιήσουμε παραγώγους, αν και δεν είμαι σίγουρος κατά πόσο είναι εύκολες οι πράξεις.

ΥΓ: Για κάποιο λόγο το LaTeX δεν εμφανίζεται όπως θα έπρεπε. Ξέρει κανείς γιατί;

Με πρόλαβες

Fotis34 · #17

Σας ευχαριστώ! Λογικά, αυτή ήταν η ιδέα.

Θέματα προκριματικού νέων 2026

Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Re: Θέματα προκριματικού νέων 2026

Μέλη σε σύνδεση