Γωνία Γεωμετρίας και λόγος ..Φίλιος!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ!

: 8e941d69-0b65-4c2e-ba08-8cd2f9a76fa8~1.jpg (914.06 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Το τρίγωνο AMO

έχει γωνίες $\angle A =96^o$ και $\angle O =48^o$ . Στην προέκταση της

θεωρούμε το σημείο

ώστε

και στην πλευρά

το σημείο

ώστε $\dfrac{OM}{IN}=\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

Ι) Να βρεθεί η (Γεωμετρική ) γωνία $\angle AMI= \omega$ και

ΙΙ) Βρείτε τον λόγο εμβαδών $\dfrac{(MON)}{(AMI)}$ και .. ίσως πείτε όπως κι’ εγώ << ο λόγος αυτός είναι Mon ami : Φίλος μου! >>

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

add2math · #2

Από το νόμο των ημιτόνων

στο τρίγωνο έχουμε: $\frac{OM}{\sin 96^\circ}=\frac{AM}{\sin 48^\circ}=\frac{ON}{\sin 48^\circ}\Rightarrow OM=2 ON \cos 48^\circ$ (αφού $\sin 96^\circ = 2 \sin 48^\circ \cos 48^\circ$ )

Επίσης στο τρίγωνο έχουμε: $\frac{OM}{\sin 96^\circ}=\frac{OA}{\sin 36^\circ}\Rightarrow OA=\frac{OM \sin 36^\circ}{\sin 96^\circ}$ (αφού , η γωνία $A\hat MO = 180^\circ - (96^\circ + 48^\circ) = 36^\circ$ )

στο τρίγωνο έχουμε: $\frac{AM}{\sin(84^\circ-\omega)}=\frac{AI}{\sin\omega}\Rightarrow AI=\frac{AM \sin\omega}{\sin(84^\circ-\omega)}=\frac{ON \sin\omega}{\sin(84^\circ-\omega)}=\frac{OM \sin\omega}{2\cos 48^\circ \sin(84^\circ-\omega)}$ (αφού η γωνία $A\hat IM = 180^\circ - \omega- 96^\circ= 84^\circ - \omega$ .)

Η σχέση

γίνεται

$\frac{OM}{\Phi}=\frac{OM}{2\cos48^\circ}-\frac{OM \sin36^\circ}{\sin96^\circ}+\frac{OM sin\omega}{2\cos48^\circ \sin(84^\circ-\omega)} \Leftrightarrow$

$\frac{1}{\Phi}=\frac{1}{2\cos 48^\circ}-\frac{ \sin 36^\circ}{\sin96^\circ}+\frac{\sin\omega}{2\cos48^\circ \sin(84^\circ-\omega)}$ (1) που αληθεύει για
$\boxed{\omega=30^\circ}$ όπως θα δείξουμε παρακάτω (*).

: monami.png (40.79 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

β) Έχουμε $\frac{(MON)}{(AMI)}=\frac{1/2 \cdot OM\cdot ON \sin 48^ \circ}{1/2 \cdot AM \cdot AI \sin96^\circ}=\frac{ OM \sin 48^ \circ}{ AI \sin96^\circ}=\frac{ OM}{ AI 2\cos 48^\circ}=\frac{ OM}{ \frac{OM \sin\omega}{2\cos48^\circ \sin(84^\circ-\omega)} 2\cos48^\circ}=\frac{\sin(84^\circ-\omega)}{ \sin\omega}$
Για $\omega = 30^\circ$ , $\frac{(MON)}{(AMI)}=2\sin(54^\circ)=\Phi$ , η χρυσή τομή, ο Mon Ami!

(*) Στους πιστούς φίλους της Τριγωνομετρίας είναι γνωστές οι σχέσεις $2\sin 18^\circ =\frac{1}{\Phi}=\frac{1 }{2\sin 54^\circ}$ (2),
άρα η (1) γίνεται $2\sin 18^\circ = \frac{\sin 48^\circ }{\sin 96^\circ} - \frac{\sin 36^\circ}{\sin 96^\circ} + \frac{\sin 48^\circ \sin\omega}{\sin 96^\circ \sin(84^\circ-\omega)}$ ή

$2\sin 18^\circ\sin 96^\circ-\sin 48^\circ + \sin 36^\circ= \frac{\sin 48^\circ \sin\omega}{\sin(84^\circ-\omega)}$

Το αριστερό μέλος γίνεται

$2\sin 18^\circ\sin 96^\circ-\sin 48^\circ + \sin 36^\circ=\cos 78^\circ-\cos 114^\circ-\sin 48^\circ + \sin 36^\circ=$

$\sin 12^\circ+\sin 24^\circ-\sin 48^\circ + \sin 36^\circ= \sin 12^\circ+ \sin 36^\circ - 2\sin 12^\circ\cos 36^\circ=$
$\sin 12^\circ(1-2\cos 36^\circ)+ \sin 36^\circ =$

(Εδώ χρησιμοποιούμε την "φίλια" σχέση $1-2\cos 36^\circ=-2\sin 18^\circ$ , προκύπτει άμεσα από την (2))

$-2\sin 12^\circ\sin 18^\circ+ 2\sin 18^\circ\cos 18^\circ = 2\sin 18^\circ(-\sin 12^\circ+\cos 18^\circ) = 2\sin 18^\circ(\sin 72^\circ-\sin 12^\circ) =$

$2\sin 18^\circ 2 \cos 42^\circ\sin 30^\circ = 2\sin 18^\circ \sin 48^\circ$

Οπότε η εξίσωση (1) γίνεται

$2\sin 18^\circ \sin 48^\circ =\frac{\sin 48^\circ \sin\omega}{ \sin(84^\circ-\omega)}\Leftrightarrow2\sin 18^\circ =\frac{\sin\omega}{\sin(84^\circ-\omega)}$ $\Leftrightarrow\frac{1 }{2\sin 54^\circ}=\frac{\sin\omega}{\sin(84^\circ-\omega)}\Leftrightarrow\frac{\sin 30^\circ}{\sin (84^\circ-30^\circ)}=\frac{\sin\omega}{\sin(84^\circ-\omega)}$ και τελικά $\omega=30^\circ$

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 05, 2026 4:38 pm
Χαιρετώ!
8e941d69-0b65-4c2e-ba08-8cd2f9a76fa8~1.jpg

Το τρίγωνο έχει γωνίες $\angle A =96^o$ και $\angle O =48^o$ . Στην προέκταση της θεωρούμε το σημείο ώστε

και στην πλευρά το σημείο ώστε $\dfrac{OM}{IN}=\Phi =\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

Ι) Να βρεθεί η (Γεωμετρική ) γωνία $\angle AMI= \omega$ και

ΙΙ) Βρείτε τον λόγο εμβαδών $\dfrac{(MON)}{(AMI)}$ και .. ίσως πείτε όπως κι’ εγώ << ο λόγος αυτός είναι Mon ami : Φίλος μου! >>

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

I) Εύκολα, MA=MN=ON,

οπότε $\displaystyle OM = IN \cdot \Phi = 2IN\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4} = 2IN\sin 126^\circ = 2IN\sin (3 \cdot 42^\circ )$

Άρα, από το λήμμα εδώ(#6), θα είναι $\displaystyle \omega + 12^\circ = 42^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\omega=30^\circ}$

: Mon ami.png (16.69 KiB) Προβλήθηκε 141 φορές

II) Από νόμο ημιτόνων στο MIN

είναι $\displaystyle \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{{\sin 42^\circ }}{{\sin 84^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{{2\cos 42^\circ }}$ (1)

$\displaystyle \frac{{(MON)}}{{(AMI)}} = \frac{{MN \cdot OM\sin 48^\circ }}{{AM \cdot MI\sin 30^\circ }} = \frac{{2IN \cdot \Phi \cos {{42}^2}}}{{IM}}\mathop = \limits^{(1)} \Phi$

θα πρόσθετα Mon cher ami("Αγαπητέ μου φίλε" και κυριολεκτικά "Ακριβέ μου φίλε").

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ όλους!
Να ευχαριστήσω θερμά τον Χρήστο (να υποθέσω φοιτητής;) για την , με υπομονή και κόπο , αντιμετώπιση του παρόντος
αλλά και τον Γιώργο ως μόνιμο ..εκτελεστή !
Υποβάλλω στην συνέχεια την λύση που είχα κατά νου κατά την δημοσίευσή του.

: Φίλιος.png (32.26 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

Ας δείξουμε πρώτα , με απαγωγή σε άτοπο ότι είναι MN=AM

.
Στο τρίγωνο MAN

είναι $\angle A=84^o$ . Έστω $\angle N>84^o$ . Τότε AM>MN..(1)

ενώ στο τρίγωνο MON

έχουμε $\angle M<48^o$ οπότε ON<MN ..(2)

.
Αυτές οι σχέσεις αλληλοαναιρούνται αφού AM=ON

.

Ομοίως αποκλείουμε $\angle N<84^o$ συνεπώς $\angle N=84^o$ και MN=AM=ON

ι) Θεωρούμε τώρα στην προέκταση του ύψους-διαμέσου

σημείο

ώστε $\angle EOD=36^o$ .

Έχουμε $OM=2OD=2 cos36^o OE =\Phi \cdot OE$ αλλά και $OM=\Phi \cdot IN$ συνεπώς OE=IN

.

Έτσι τα τρίγωνα MIN,NOE

είναι ίσα (ΠΓΠ) , άρα $\measuredangle IMN=\measuredangle MNO/2=42^o$ και $\angle AMI=42-12=30^o$

ιι) $\dfrac{(MON)}{(AMI)}=\dfrac{ON}{AI}=\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{sin54^o}{sin30^o}=\dfrac{\Phi /2}{1/2}=\Phi$ ..Le nombre d' or !

Γωνία Γεωμετρίας και λόγος ..Φίλιος!

Γωνία Γεωμετρίας και λόγος ..Φίλιος!

Re: Γωνία Γεωμετρίας και λόγος ..Φίλιος!

Re: Γωνία Γεωμετρίας και λόγος ..Φίλιος!

Re: Γωνία Γεωμετρίας και λόγος ..Φίλιος!

Μέλη σε σύνδεση