Μεσαίος λόγος

KARKAR · #1

: Μεααίος λόγος.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

$\bigstar$ Εντοπίστε σημείο

στο ημικύκλιο διαμέτρου

, τέτοιο ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . Αν :

$ST \perp AB$ . Εντοπίστε σημείο

του τμήματος

, για το οποίο είναι : $\dfrac{PA}{PB}=3$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 12, 2026 6:43 pm
Μεααίος λόγος.png $\bigstar$ Εντοπίστε σημείο στο ημικύκλιο διαμέτρου , τέτοιο ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . Αν :

$ST \perp AB$ . Εντοπίστε σημείο του τμήματος , για το οποίο είναι : $\dfrac{PA}{PB}=3$ .

Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με δύο Απολλώνιους κύκλους.

: Μεσαίος λόγος.png (19.6 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

$\displaystyle \bullet$ Το

είναι το σημείο τομής του αρχικού ημικυκλίου με το ημικύκλιο διαμέτρου $KL=KB+BL=\dfrac{2r}{3}+2r=\dfrac{8r}{3}.$

$\displaystyle \bullet$ Το

είναι το σημείο τομής του

με το ημικύκλιο διαμέτρου $EZ=EB+BZ=\dfrac{r}{2}+r=\dfrac{3r}{2}.$

Nikitas K. · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 12, 2026 6:43 pm
Μεααίος λόγος.png $\bigstar$ Εντοπίστε σημείο στο ημικύκλιο διαμέτρου , τέτοιο ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . Αν :

$ST \perp AB$ . Εντοπίστε σημείο του τμήματος , για το οποίο είναι : $\dfrac{PA}{PB}=3$ .

: Μεσαίος λόγος.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Θέτοντας $AB := d\quad \color{blue} *$

Για το 1ο ερώτημα:

Από την υπόθεση έχουμε ότι $SA = 2SB\quad \color{blue} (1)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\triangle SAB$ προκύπτει:

$SA^2 + SB^2 = AB^2 \overset{ {\color{blue} *,(1)} }{\Rightarrow} SB = \dfrac{d}{\sqrt{5}}\quad \color{blue} (2)$

Για το 2ο ερώτημα:
Από την υπόθεση έχουμε ότι $PA = 3PB\quad\color{blue} **$

Ισχύει:
H ισότητα $\quad \color{blue} (1)$ λόγω της $\color{blue} (2)$ προκύπτει:

$SA = \dfrac{2d}{\sqrt{5}}\quad \color{blue} (3)$

Από τα όμοια τρίγωνα $\triangle STB$ και $\triangle ABS$ προκύπτει:

$SB^2 = TB \cdot AB \Rightarrow TB = \dfrac{SB^2}{AB}\overset{{\color{blue} *,(2)}}\Rightarrow TB = \dfrac{d}{5}\quad \color{blue} (4)$

$TA = AB - TB\overset{{\color{blue} *,(4)}}\Rightarrow TA = \dfrac{4d}{5}\quad \color{blue} (5)$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνο $\triangle PAT$ και $\triangle PBT$ προκύπτει:

PA^2 - TA^2 = PT^2

και

Άρα

και λόγω των σχέσεων $\color{blue} **, (4), (5)$

προκύπτει $PB = \sqrt{\dfrac{3}{10}} \cdot \dfrac{d}{2}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 12, 2026 6:43 pm
Μεααίος λόγος.png $\bigstar$ Εντοπίστε σημείο στο ημικύκλιο διαμέτρου , τέτοιο ώστε : $\dfrac{SA}{SB}=2$ . Αν :

$ST \perp AB$ . Εντοπίστε σημείο του τμήματος , για το οποίο είναι : $\dfrac{PA}{PB}=3$ .

Α)Θεωρούμε εσωτερικό σημείο

της διαμέτρου ώστε $\dfrac{AT}{TB} =4$

Η κάθετη στην

στο

τέμνει το ημικύκλιο στο ζητούμενο σημείο

.Πράγματι

$\dfrac{SA^2}{SB^2} = \dfrac{AT}{TB}=4 \Rightarrow \dfrac{SA}{SB}=2$

Β)Με δεύτερο θ.διαμέσου στο τρίγωνο PAB

παίρνουμε

$PA^2-PB^2=2.2r.OT \Rightarrow 8x^2=4r. \dfrac{3r}{5} \Rightarrow x= r \sqrt{ \dfrac{3}{10} }$

Ο κύκλος $(B, r \sqrt{ \dfrac{3}{10} } )$ τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

: Μεσαίος λόγος.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 37 φορές

Μεσαίος λόγος

Μεσαίος λόγος

Re: Μεσαίος λόγος

Re: Μεσαίος λόγος

Re: Μεσαίος λόγος

Μέλη σε σύνδεση