Σεβαστό ποσοστό

KARKAR · #1

: Σεβαστό ποσοστό.png (26.11 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

, είναι :

. Η διχοτόμος της $\hat{B}$ τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στο σημείο

. Αν

είναι τα μέσα των AB , BC

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(SMD)}{(ABC)}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 14, 2026 9:24 am
Σεβαστό ποσοστό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , είναι : . Η διχοτόμος της $\hat{B}$ τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στο σημείο . Αν είναι τα μέσα των , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(SMD)}{(ABC)}$ .

απ' όπου με τον τύπο του Ήρωνα ή και αλλιώς, $(ABC)=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}.$

Είναι ακόμα $\displaystyle \cos B = \frac{{BD}}{{AB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin B = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$ και $\displaystyle \sin \frac{B}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}.$ Φέρνω το ύψος

του τριγώνου SMD

που διέρχεται από το μέσο

του

και έστω

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

: Σεβαστό ποσοστό.png (17.35 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές

$\displaystyle AS = 2R\sin \frac{B}{2} = \frac{{R\sqrt 6 }}{2},b = 2R\sin B \Leftrightarrow 2a = \frac{{2R\sqrt {15} }}{4} \Rightarrow R = \frac{{4a}}{{\sqrt {15} }}$

Π.Θ στο ANS,

$\displaystyle NS = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.$ Αλλά, $\displaystyle NE = \frac{1}{2}BZ = \frac{1}{2}\frac{{2(ABC)}}{b} = \frac{{a\sqrt {15} }}{8}$

$\displaystyle (SMD) = \frac{1}{2}MD(SN + NE) = \frac{1}{2}a \cdot \frac{{13\sqrt {15} a}}{{40}} = \frac{{13{a^2}\sqrt {15} }}{{80}}$

Άρα, $\dfrac{(SMD)}{(ABC)}=\dfrac{13}{20}=65\%$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 14, 2026 9:24 am
Σεβαστό ποσοστό.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , είναι : . Η διχοτόμος της $\hat{B}$ τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στο σημείο . Αν είναι τα μέσα των , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(SMD)}{(ABC)}$ .

Το

είναι έγκεντρο του τριγώνου ABC

κι είναι γνωστό (κι εύκολο να αποδειχτεί) ότι

SA=SQ=SC=n

κι έστω ότι BS=m

και

.

Είναι $MD//AC \Rightarrow BN=NP=x$

Από Πτολεμαίο $an+2an=2am \Rightarrow n= SQ=\dfrac{2m}{3}$

διχοτόμος ,άρα $\dfrac{AP}{PC}= \dfrac{AB}{BC}=2 \Rightarrow \dfrac{AC}{AP} = \dfrac{AB}{AP}= \dfrac{3}{2}$

Αλλά

διχοτόμος ,άρα $\dfrac{BQ}{QP}=\dfrac{AB}{AP}= \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{x+y}{x-y}= \dfrac{3}{2} \Rightarrow x=5y$

Επομένως $BQ= \dfrac{m}{3}=6y \Rightarrow y= \dfrac{m}{18}$

Άρα $SN=SQ+y= \dfrac{2m}{3}+ \dfrac{m}{18} = \dfrac{13m}{18}$ και $BN=x= \dfrac{5m}{18}$

Τώρα $\dfrac{(SMD)}{(MBD)}= \dfrac{SN}{BN} =\dfrac{13}{5} \Rightarrow \dfrac{(SMD)}{ \dfrac{1}{4}(ABC) } = \dfrac{13}{5} \Rightarrow \dfrac{(SMD)}{(ABC)} = \dfrac{13}{20}$

: Σεβαστό ποσοστό.png (64.74 KiB) Προβλήθηκε 42 φορές

Σεβαστό ποσοστό

Σεβαστό ποσοστό

Re: Σεβαστό ποσοστό

Re: Σεβαστό ποσοστό

Μέλη σε σύνδεση