Ίσα ευθύγραμμα τμήματα

giannimani · #1

Δύο κύκλοι $(O_{1})$ και $(O_{2})$ τέμνονται στα σημεία

και

. Έστω

η κοινή εξωτερική
εφαπτομένη των δύο κύκλων στα $A \in(O_{1})$ και $B\in (O_{2})$ αντίστοιχα, που είναι πλησιέστερα
στο

από ότι στο

. Έστω

ευθεία παράλληλη της

που διέρχεται από το

,
με $C \in (O_{1})$ και $D\in (O_{2})$ . Οι ευθείες

και

τέμνονται στο

, οι ευθείες

και

στο

και οι ευθείες

και

στο

. Να αποδείξετε ότι EP = EQ

.

: equal_segm.png (35.8 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές

Dimessi · #2

: Ομοκυκλικότητες..png (83.42 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

$\displaystyle \angle CAN\overset{M\in \left ( O_1 \right )}=\angle CMN\overset{M\in \left ( O_2 \right )}=180^\circ-\angle NBD=\angle EBN\Rightarrow N\in \left ( AEB \right )\overset{AB \parallel CQ \left ( \Theta .\textrm{Reim} \right )}\Rightarrow$ $Q\in \left ( ECN \right ).$
$\displaystyle N \in \left ( AEB \right )\overset{AB \parallel DP \left ( \Theta .\textrm{Reim} \right )}\Rightarrow P \in \left ( EDN \right ).$
$\displaystyle \begin{Bmatrix} \angle ECN=\angle ACM+\angle MCN\overset{AC=AM\left ( O_1A\perp AB \parallel \overline{CMD} \right )}=\angle MPN\overset{P\in \left ( EDN \right )}=\angle DEN & \\ \angle CEN\overset{Q\in \left ( ECN \right )}=\angle CQN=\angle MBN+\angle BMD\overset{MB=MD\left ( O_2B \perp AB \parallel \overline{CMD} \right )}=\angle EDN & \\ \end{Bmatrix}\Rightarrow$ $\vartriangle ECN \sim \vartriangle EDN\Rightarrow \angle ENC=\angle END.$
$\displaystyle \angle EQP\overset{Q\in \left ( ECN \right )}=\angle ENC=\angle END\overset{P\in \left ( EDN \right )}=\angle EPQ\Rightarrow EP=EQ.$

: Ομοκυκλικότητες..png (83.42 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

S.E.Louridas · #3

giannimani έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 16, 2026 11:16 pm
Δύο κύκλοι $(O_{1})$ και $(O_{2})$ τέμνονται στα σημεία και . Έστω η κοινή εξωτερική
εφαπτομένη των δύο κύκλων στα $A \in(O_{1})$ και $B\in (O_{2})$ αντίστοιχα, που είναι πλησιέστερα
στο από ότι στο . Έστω ευθεία παράλληλη της που διέρχεται από το ,
με $C \in (O_{1})$ και $D\in (O_{2})$ . Οι ευθείες και τέμνονται στο , οι ευθείες και
στο και οι ευθείες και στο . Να αποδείξετε ότι .
equal_segm.png

: ISA TMHMATA.png (28.75 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

Έστω $T \equiv CD \cap {O_1}A,\;\;L \equiv CD \cap {O_2}B.$ Παρατηρούμε ότι $AB = TL = \frac{{CD}}{2} \Rightarrow EA = AC \Rightarrow EM\parallel AT,$

άρα η

είναι κάθετη στην PQ.

$F \equiv AB \cap NM \Rightarrow FA = FB = \sqrt {FM \cdot FN} \Rightarrow MP = MQ,$

επομένως το τρίγωνο $\vartriangle EPQ$ είναι ισοσκελές οπότε EP = EQ.

Ίσα ευθύγραμμα τμήματα

Ίσα ευθύγραμμα τμήματα

Re: Ίσα ευθύγραμμα τμήματα

Re: Ίσα ευθύγραμμα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση