Σταθερό σημείο

KARKAR · #1

: Σταθερό σημείο.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές

Μεταβλητός κύκλος , διερχόμενος από τα σημεία A , S

τέμνει την κάθετη της

στο

,

στα σημεία B , C

. Ονομάζουμε P , Q

τις προβολές του

στις

αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το σημείο τομής των AD , PQ

, είναι σταθερό . ( AD=6 , DS=2

) .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 19, 2026 12:01 pm
Σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος , διερχόμενος από τα σημεία τέμνει την κάθετη της στο ,

στα σημεία . Ονομάζουμε τις προβολές του στις αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το σημείο τομής των , είναι σταθερό . ( ) .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\vartriangle SCB \sim \vartriangle DQP,$ με τα $SF,\;DT$ να είναι αντίστοιχα ομόλογα ευθύγραμμα τμήματα και $SV,\;AD$

να είναι αντίστοιχες ομόλογοι διάμετροι των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων $\vartriangle SCB,\;\;\vartriangle DQP.$ Έτσι οδηγούμαστε

πλέον στην διαπίστωση:

$\displaystyle\frac{{SF}}{{DT}} = \frac{{2SO}}{{AD}} \Rightarrow DT = \frac{{AD \cdot SF}}{{2SO}} \Rightarrow DT = \frac{{AD \cdot SD}}{{2SL}}\,,\,\;ct.}$

: STATHERO SHMEIO.png (128.42 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

(*) Απλά τοποθετήθηκε η παράθεση.

#3

KARKAR έγραψε:Σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος, διερχόμενος από τα σημεία τέμνει την κάθετη της στο , στα σημεία . Ονομάζουμε τις προβολές του στις αντίστοιχα . Δείξτε ότι το σημείο τομής των , είναι σταθερό .

Θεωρούμε τον σταθερό κύκλο έστω (K)

με διάμετρο AS,

ο οποίος τέμνει την ευθεία

στα σημεία E, F

και ας είναι το

πλησιέστερα στο

και έστω

οι προβολές του

επί των

αντιστοίχως.

$\bullet$ έστω το σημείο $T\equiv AD\cap XY$ και αρκεί να αποδειχθεί ότι η ευθεία

περνάει από το

Ισχύει

και

και $XY\parallel EF\equiv BC,$ λόγω συμμετρίας του σχήματος των κύκλων (K), (L),

όπου

είναι ο κύκλος με διάμετρο

στον οποίο ανήκουν προφανώς τα σημεία P, Q, X, Y.

Από $\angle TSF\equiv \angle ASF= \angle AEF\equiv \angle AED= \angle ADX= \angle AYX\equiv \angle AYT,$ έχουμε ότι το τετράπλευρο STYF

είναι εγγράψιμο

και επομένως ισχύει $\boxed{(AY)(AF)= (AT)(AS)}\ \ ,(1)$

Έστω το σημείο $T'\equiv AD\cap PQ$ και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι $\boxed{T'\equiv T} \ \ ,(2)$

: Σταθερό σημείο.; f=178 t=79349.PNG (31.99 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

$\bullet$ Από $\angle T'SC\equiv \angle ASC= \angle ABC\equiv \angle ABD= \angle ADP= \angle AQP\equiv \angle AQT',$ έχουμε ότι το τετράπλευρο ST'QC

είναι εγγράψιμο

και επομένως ισχύει $\boxed{(AQ)(AC)= (AT')(AS)} \ \ ,(3)$

Από $\angle QCF\equiv \angle ACD= \angle ADQ= \angle AYQ$ έχουμε ότι το τετράπλευρο CFYQ

είναι εγγράψιμο

και άρα ισχύει $\boxed{(AY)(AF)= (AQ)(AC)} \ \ ,(4)$

Από $(1), (3), (4)\Rightarrow$ $\boxed{(AT)(AS)= (AT')(AS)}\Rightarrow$ $\boxed{AT'= AT}\Rightarrow$ (2)

και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώατας Βήττας.

giannimani · #4

Από τα ορθογώνια τρίγωνα ADB

και

έχουμε $AP \cdot AB =AD^2= AQ \cdot AC \quad (1)$ .
Το τετράπλευρο APDQ

είναι προφανώς εγγράψιμο σε κύκλο $\omega$ διαμέτρου

, οπότε $\angle APQ = \angle ADQ \quad (2)$
Αλλά $\angle ADQ =\angle ACB = \angle ASB \quad (3)$ . Από (2)

και

$\angle APQ=\angle ASB$ , δηλαδή, το τετράπλευρο BPTS

εγγράψιμο.
Επομένως, $AP \cdot AB = AT \cdot AS \quad (4)$ .
Από (1)

και

$AD^2= AT\cdot AS \Rightarrow AT= \frac{AD^2}{AS}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}$ .

: const_point.png (45.48 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 19, 2026 12:01 pm
Σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος , διερχόμενος από τα σημεία τέμνει την κάθετη της στο ,

στα σημεία . Ονομάζουμε τις προβολές του στις αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το σημείο τομής των , είναι σταθερό . ( ) .

Αν

συμμετρικά του

ως προς τις AB,AC

αντίστοιχα και CE,BZ

ύψη ,είναι γνωστό

(κι εύκολο να αποδειχθεί) ότι τα K,E,Z,L

είναι συνευθειακά.

Επειδή DS=DH=2,AH=4

και

θα είναι $\dfrac{AZ}{ZQ}= \dfrac{AH}{HD} = 2$

Επειδή όμως DQ=QL

το

είναι κ.βάρους του τριγώνου ALD

άρα

Αλλά προφανώς MT=TD

οπότε $1+HT= \dfrac{3}{2} \Rightarrow HT= \dfrac{1}{2} \Rightarrow AT= \dfrac{9}{2}$

: Σταθερό σημείο.png (37.45 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές

#6

Δεν είμαι καλά εξοικειωμένος με την Αντιστροφή, αλλά το σχήμα προσφέρεται για τέτοια προσέγγιση.

Πράγματι, από τα ορθογώνια τρίγωνα $\vartriangle DAB, \vartriangle DAC,$ με $DP\perp AB$ και $DQ\perp AC$ έχουμε

$(AP)(AB) = (AD)^{2} = (AQ)(AC) \ \ ,(1)$

Από (1)

προκύπτει ότι η ευθεία

είναι η εικόνα του σταθερού κύκλου έστω (L)

με διάμετρο AD,

στην Αντιστροφή με πόλο το σημείο

και δύναμη $u^{2} = (AD)^{2}.$

Στην ίδια Αντιστροφή, το αντίστροφο σχήμα ( εικόνα ) του μεταβλητού κύκλου έστω (O)

με χορδή το σταθερό τμήμα AS,

είναι η μεταβλητή χορδή

του κύκλου (L).

Επειδή τώρα, ο μεταβλητός κύκλος (O)

περνάει από το σταθερό σημείο

συμπεραίνεται ότι η εικόνα του PQ,

περνάει από το σταθερό και αντίστροφο σημείο του

έστω το $T\in AD,$ τέτοιο ώστε $(AT)(AS) = u^{2} = (AD)^{2}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

S.E.Louridas · #7

Έχουμε και λέμε:

$\angle AQP = \angle ADP = \angle DBA = \angle CA'A = \frac{\pi }{2} - \angle A'AC \Rightarrow \angle QFA = \frac{\pi }{2} \Rightarrow$

$\displaystyle\ AT \cdot AS = AF \cdot AA' = AQ \cdot AC = A{D^{\,2}} \Rightarrow AT = \frac{{A{D^{\,2}}}}{{AC}},\;\;ct.$

: STATHERO SHMEIO.png (128.42 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 19, 2026 12:01 pm
Σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος , διερχόμενος από τα σημεία τέμνει την κάθετη της στο ,

στα σημεία . Ονομάζουμε τις προβολές του στις αντίστοιχα .

Δείξτε ότι το σημείο τομής των , είναι σταθερό . ( ) .

Ας το δούμε και γενικότερα με AS,AD,DS

σταθερά

Με $SE \bot AB$ και $SZ \bot AC$ τα E,D,Z

είναι συνευθειακά (ευθεία Simson)

Επειδή $\angle ESC= \angle PDQ=180^0-A$ και SE//DP,SZ//DQ

θα είναι $\triangle PDQ \simeq \triangle ESZ \Rightarrow \dfrac{PD}{ES}= \dfrac{DQ}{SZ} = \dfrac{AD}{AS}$

Άρα και $\dfrac{TD}{DS} = \dfrac{AD}{AS} \Rightarrow DT= \dfrac{DS.AD}{AS} =ct$

: Σταθερό σημείο1.png (34.38 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

Σταθερό σημείο

Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Re: Σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση