Άσκηση μιγαδικών

#1

Αυτή την άσκηση δε θυμάμαι να την έχω ξαναβάλει στο forum , αλλά ούτε και να την έχω στο αρχείο μου λυμένη από παλιά.Να δούμε αν ο νέος χρόνος θα τη βρει να περιμένει, η αν θα την έχουμε λύσει μέχρι αύριο !

ΑΣΚΗΣΗ

Αν για τους μιγαδικούς α , β , γ ισχύει ότι

${\rm{|\alpha |}}\,{\rm{ = }}{\rm{|\beta | = |\gamma | = |}}\frac{{{\rm{\alpha + \beta + \gamma - \alpha \beta \gamma }}}}{{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha - 1}}| = \rho > 0$

να αποδειχθεί ότι $\rho=1$ ή ότι δύο τουλάχιστον από τους α , β , γ είναι αντίθετοι.

#2

3 Ιανουαρίου 2009
Ξαναστέλνω διορθωμένη την αρχική λύση που είχα στείλει.
'Ηταν η δεύτερη ιδέα που μου ήλθε στο μυαλό όταν είδα την άσκηση. Η πρώτη ήταν να κάνω τις πράξεις και θέλησα να την αποφύγω. Αν ήξερα πόσα περάσματα υπήρχαν σε αυτή την ατραπό δεν θα την ακολουθύσα καθόλου. Την ανεβάζω αφ'ενός γιατί έχει τον κόπο της και αφ'ετέρου γιατί κάποια κομμάτια της ίσως έχουν ενδιαφέρον. Η λύση του
Αθ. Μπεληγιάννη (βλ. παρακάτω) είναι φυσικά απλούστερη και διδάξιμη.

Από την υπόθεση οι εικόνες $A,B,\Gamma,Z,$ των $\alpha ,\beta ,\gamma ,\,\ \ z=\frac{\alpha +\beta +\gamma -\alpha \beta \gamma }{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha -1}$ ανήκουν στον κύκλο $K=\left( O,\rho \right)$ .
Αν $\alpha +\beta =0$ ή $\alpha \beta =1$ έχουμε τελειώσει διότι τότε οι $\alpha ,\beta$ είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι με ίδιο μετρο $\rho$ το οποίο θα είναι αναγκαστικά 1. Επίσης αν $\alpha =\beta =\gamma$ πάλι έχουμε τελιεώσει διότι τότε $\left| z\right| =\left| \alpha \right| \left| \frac{\alpha ^{2}-3}{3\alpha ^{2}-1}\right| =\rho =\left| \alpha \right|$ οπότε $\left| \frac{\alpha ^{2}-3}{3\alpha ^{2}-1}\right| =1$ από την οποία εύκολα βρίσκουμε ότι $\rho =\left| \alpha \right| =1$ .
Υποθέτουμε λοιπόν ότι οι $\alpha +\beta$ , $\alpha \beta -1$ δεν είναι 0 και ότι δύο τουλάχιστον από τους $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι διάφοροι.
Είναι $\gamma =-\frac{z\alpha \beta -z-\alpha -\beta }{z\beta +z\alpha -1+\alpha \beta }$ και επομένως $\left| \frac{\left( z+\frac{\alpha +\beta }{1-\alpha \beta }\right) \left( 1-\alpha \beta \right) }{\left( z+\frac{\alpha \beta -1}{\alpha +\beta }\right) \left( \alpha +\beta \right) }\right| =\left| -\frac{z\alpha \beta -z-\alpha -\beta }{z\beta +z\alpha -1+\alpha \beta }\right| =\left| \gamma \right| =\rho$ . 'Αρα $\frac{\left| z+\frac{\alpha +\beta }{1-\alpha \beta }\right| }{\left| z+\frac{\alpha \beta -1}{\alpha +\beta }\right| }=\frac{\rho \left| \alpha +\beta \right| }{\left| 1-\alpha \beta \right| }=c$ . Είναι $z_{1}-z_{2}=\frac{\left( \alpha ^{2}+1\right) \allowbreak \left( \beta ^{2}+1\right) }{\left( -1+\alpha \beta \right) \left( \alpha +\beta \right) }$ και επομένως αν τα $z_{1},z_{2}$ είναι ίσα έχουμε τελειώσει διότι $\rho =1$ .
Με $z_{1},z_{2}$ διάφορα έχουμε ότι ο λόγος των αποστάσεων της εικόνας

του

από τις εικόνες Z_1, Z_2

των $z_1=-\frac{\alpha +\beta }{1-\alpha \beta },z_2=-\frac{\alpha \beta -1}{\alpha +\beta }$ είναι σταθερός. Επομένως το

ανήκει σε μία γραμμή

που θε είναι ευθεία αν c=1

και κύκλος (Απολλώνιος Κύκλος) o οποίος έχει διάμετρο το τμήμα που τα άκρα του διαιρούν εσωτερικά-εξωτερικά το Z_1Z_2

σε λόγο

. Υπολογισμός ρουτίνας δίνει ότι το κέντρο είναι η εικόνα του $\frac{1}{1-c^{2}}z_{1}-\frac{c^{2}}{1-c^{2}}z_{2}=\allowbreak \allowbreak -\left( \alpha \beta -1\right) \left( \alpha +\beta \right) \frac{1+\rho ^{2}}{-\alpha ^{2}\beta ^{2}+2\alpha \beta -1+\rho ^{2}\alpha ^{2}+2\rho ^{2}\alpha \beta +\rho ^{2}\beta ^{2}}\neq 0$ που θα είναι διάφορο του Ο. Σε κάθε περίπτωση, και αυτό είναι το ουσιώδες, η γραμμή

είναι διάφορη του

.
Με $f\left( z\right) =-\frac{z\alpha \beta -z-\alpha -\beta }{z\beta +z\alpha -1+\alpha \beta }$ βλέπουμε ότι $Z\in C\Leftrightarrow \left| f\left( z\right) \right| =\rho$ . Αλλά $f\left( -\alpha \right) =\allowbreak -\beta$ και $f\left( -\beta \right) =\allowbreak -\alpha$ . Επομένως $\left| f\left( -\alpha \right) \right| =\left| f\left( -\beta \right) \right| =\rho$ και τα $-\alpha ,-\beta$ ανήκουν στην

. Αρα οι εικόνες των $-\alpha ,-\beta ,z$ ανήκουν στις καμπύλες K,C

. Αυτές δε μπορούν να έχουν πάνω από δύο κοινά σημεία. Μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι τα $\alpha ,\beta$ επομένως και τα $-\alpha ,-\beta$ είναι διάφορα (αλλιώς επαναλαμβάνουμε το ίδιο συλλογισμό με τα $\beta ,\gamma$ στη θέση των $\alpha ,\beta$ ) Αναγκαστικά λοιπόν $z=-\alpha$ ή $z=-\beta$ . Η πρώτη ισότητα μας οδηγεί στην $0=\frac{\alpha +\beta +\gamma -\alpha \beta \gamma }{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha -1}+\alpha =\frac{\allowbreak \left( \alpha ^{2}+1\right) \left( \beta +\gamma \right) }{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha -1}$ που δίνει $\rho =1$ . Στο ίδιο συμπέρασμα οδηγει και η δεύτερη.

Μαυρογιάννης

mathfinder · #3

Θέλω να ευχηθώ στη μεγάλη Μαθηματική παρέα ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ ΜΕ ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ και να στείλω μιά λύση για την άσκηση του Μπάμπη με το συνημμένο αρχείο.
Αθ. Μπεληγιάννης

#4

Θανάση , ωραία λύση.Δεν ξέρω αν θα βρω κάτι πιο σύντομο.Είναι από κάποιο περιφερειακό διαγωνισμό και θα προσπαθήσω να βρω τις επίσημες λύσεις.
Να ευχαριστήσω και σένα αλλά και το γιό σου (

)(2 χρονών , για όσους δεν γνώρίζουν τον εξαιρετικό συνάδελφο Θανάση) που σε άφησε για τόση ώρα ήσυχο , ώστε να κάνεις σωστά όλες αυτές τις πράξεις !!!
Καλή Χρονιά και πάντα ωραίες εμπνεύσεις !!!
Μπάμπης

#5

Ως υποπροϊόν της ενασχόληση μου με την άσκηση του Μπάμπη δίνω την ακόλουθη και απολύτως προσιτή:

'Εστω ότι $\left\vert \alpha \right\vert =\left\vert \beta \right\vert =\left\vert \gamma \right\vert =1$ και $z=\frac{\alpha +\beta +\gamma -\alpha \beta \gamma }{\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha -1}$ .Δείξτε ότι .

Στέλνοντας πρωτοχρονιάτικο λύση με αδυναμίες φευγαλέα μου πέρασε από το μυαλό η ιδέα ότι μη και έκανα-στις λύσεις- κακό ποδαρικό και γκαντεμιάσω τον ιστότοπο. Φευγαλέα είπαμε γιατί με τόσο ικανούς μαθηματικούς εδώ κακιά σκουριά δε πιάνει. Προσπαθώντας να συμπληρώσω ελλίποντες κρίκους θυμήθηκα και την ακόλουθη γελοιογραφία
viewtopic.php?f=44&t=140
Όποιος έχει χτυπηθεί σε μία απόδειξη που δεν του έβγαινε και δεν θα του κακόπεφτε ένα θαύμα θα καταλάβει τι έννοώ.
Μαυρογιάννης

#6

nsmavrogiannis έγραψε: Όποιος έχει χτυπηθεί σε μία απόδειξη που δεν του έβγαινε και δεν θα του κακόπεφτε ένα θαύμα θα καταλάβει τι έννοώ.

Από αυτό άλλο τίποτα.

Δεν ξέρεις πόσες φορές στην ερευνητική μου εργασία, προσπαθώντας να λύσω δύσκολα προβλήματα, έννοιωθα ότι ήμουν σε μία βάρκα με τρύπες που έμπαζε από παντού. Και όποτε βούλωνα με το δάκτυλο μία τρύπα, διαπίστωνα αργότερα ότι είχα βγάλει το δάκτυλο από μία προηγούμενη τρύπα που τώρα ξαναέμπαζε...

Μ.Λ.

#7

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αυτή την άσκηση δε θυμάμαι να την έχω ξαναβάλει στο forum , αλλά ούτε και να την έχω στο αρχείο μου λυμένη από παλιά.Να δούμε αν ο νέος χρόνος θα τη βρει να περιμένει, η αν θα την έχουμε λύσει μέχρι αύριο !

ΑΣΚΗΣΗ

Αν για τους μιγαδικούς α , β , γ ισχύει ότι

${\rm{|\alpha |}}\,{\rm{ = }}{\rm{|\beta | = |\gamma | = |}}\frac{{{\rm{\alpha + \beta + \gamma - \alpha \beta \gamma }}}}{{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha - 1}}| = \rho > 0$

να αποδειχθεί ότι $\rho=1$ ή ότι δύο τουλάχιστον από τους α , β , γ είναι αντίθετοι.

Μετά από κάποια προσπάθεια βρήκα την επίσημη λύση της επιτροπής του διαγωνισμού , από την οποία προέρχεται η άσκηση. Τη βάζω στο συνημμένο αρχείο , για να είναι πιο ευανάγνωστη.
Την έχω όμως και ΕΔΩ
Μπάμπης

Άσκηση μιγαδικών

Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Re: Άσκηση μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση