Λιγότερο δεν γίνεται

KARKAR · #1

: Λιγότερο δεν γίνεται.png (8.74 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

Βρείτε το σημείο

του κύκλου x^2+y^2=25

, για το οποίο ελαχιστοποιείται

το άθροισμα των απόστάσεών του από τις ευθείες : y=6

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 1:48 pm Λιγότερο δεν γίνεται.pngΒρείτε το σημείο του κύκλου , για το οποίο ελαχιστοποιείται

το άθροισμα των απόστάσεών του από τις ευθείες : και : .

: λιγοτ.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 32 φορές

.
Έστω

σημείο του κύκλου στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε

0\le a\le 5, \, 0\le b\le 5

και

a^2+b^2=25

.

Είναι

SQ=6-b

και

SP= d(S, x-y-6=0)= \dfrac {|a-b-6|}{\sqrt {1^2+1^2}}= \dfrac {6+b-a}{\sqrt {2}}

(διότι

6+b-1\ge 6+0-5>0

).

Άρα από C-S το άθροισμα των απόστάσεών του

από τις ευθείες είναι

SP+SQ= \dfrac {6+b-a}{\sqrt {2}}+6-b= 6+3\sqrt 2- a\cdot \dfrac {1}{\sqrt 2}- b\left (1-\dfrac {1}{\sqrt 2}\right ) \ge

\ge 6+3\sqrt 2- \sqrt {a^2+b^2} \sqrt {\dfrac {1}{2}+ \left (1-\dfrac {1}{\sqrt 2}\right ) ^2 }= \boxed {6+3\sqrt 2- 5\sqrt {2- \sqrt 2} \approx 6,42}

(το ελάχιστο) με ισότητα όταν

a:b= \dfrac {1}{\sqrt 2}: \left (1-\dfrac {1}{\sqrt 2}\right )

. Και λοιπά. Αφήνω τις ανιαρές πράξεις ρουτίνας, πάντως είναι

a\approx 4,55, \, b\approx 2,07

Λιγότερο δεν γίνεται

Λιγότερο δεν γίνεται

Re: Λιγότερο δεν γίνεται

Μέλη σε σύνδεση