Λιγότερο δεν γίνεται

KARKAR · #1

: Λιγότερο δεν γίνεται.png (8.74 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές

Βρείτε το σημείο

του κύκλου x^2+y^2=25

, για το οποίο ελαχιστοποιείται

το άθροισμα των απόστάσεών του από τις ευθείες : y=6

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 1:48 pm Λιγότερο δεν γίνεται.pngΒρείτε το σημείο του κύκλου , για το οποίο ελαχιστοποιείται

το άθροισμα των απόστάσεών του από τις ευθείες : και : .

: λιγοτ.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές

.
Έστω

σημείο του κύκλου στο πρώτο τεταρτημόριο, οπότε

0\le a\le 5, \, 0\le b\le 5

και

a^2+b^2=25

.

Είναι

SQ=6-b

και

SP= d(S, x-y-6=0)= \dfrac {|a-b-6|}{\sqrt {1^2+1^2}}= \dfrac {6+b-a}{\sqrt {2}}

(διότι

6+b-1\ge 6+0-5>0

).

Άρα από C-S το άθροισμα των απόστάσεών του

από τις ευθείες είναι

SP+SQ= \dfrac {6+b-a}{\sqrt {2}}+6-b= 6+3\sqrt 2- a\cdot \dfrac {1}{\sqrt 2}- b\left (1-\dfrac {1}{\sqrt 2}\right ) \ge

\ge 6+3\sqrt 2- \sqrt {a^2+b^2} \sqrt {\dfrac {1}{2}+ \left (1-\dfrac {1}{\sqrt 2}\right ) ^2 }= \boxed {6+3\sqrt 2- 5\sqrt {2- \sqrt 2} \approx 6,42}

(το ελάχιστο) με ισότητα όταν

a:b= \dfrac {1}{\sqrt 2}: \left (1-\dfrac {1}{\sqrt 2}\right )

. Και λοιπά. Αφήνω τις ανιαρές πράξεις ρουτίνας, πάντως είναι

a\approx 4,55, \, b\approx 2,07

duamba · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 03, 2026 1:48 pm Βρείτε το σημείο του κύκλου , για το οποίο ελαχιστοποιείται
το άθροισμα των απόστάσεών του από τις ευθείες : και : .

: ligotero-den-ginetai.png (15.34 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές

H τελευταία δυνατή κάθετη απο την στον κύκλο είναι η εφαπτομένη (διακεκομμένη στο σχήμα),
Αντίστοιχα η τελευταία δυνατή κάθετη απο την στον κύκλο είναι η εφαπτομένη .

Οι και σχηματίζουν γωνία $45^{\circ}$ .

Εικασία:

Αν είναι η τομή των δύο εφαπτόμενων, το ζητούμενο βρίσκεται στην τομή της με τον κύκλο.

Η σχηματίζει με την γωνία $22,5^{\circ}$ .

ttheodoros · #4

Γιατί το ελάχιστο λαμβάνεται στο πρώτο τεταρτημοριο;

#5

ttheodoros έγραψε: Σάβ Ιούλ 04, 2026 8:49 pm Γιατί το ελάχιστο λαμβάνεται στο πρώτο τεταρτημοριο;

: λιγοτ 2.png (27.57 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές

.
Ναι.

'Εστω

σημείο σε άλλο τεταρτημόριο, αλλά πάνω από την κόκκινη γραμμή. Συνδέουμε το

με το

και έστω ότι η S'L

τέμνει τον κύκλο στο

του πρώτου τεταρτημορίου . Τότε, όρο προς όρο,

S' P'+S'Q'\ge SP+SQ

οπότε το πρώτο τεταρτημόριο μας δείνει μικρότερη παράσταση.

Ανάλογα εργαζόμαστε για

κάτω από την κόκκινη γραμμή, συγκρίνοντας με κατάλληλο σημείο

του πρώτου τεταρτημορίου.

add2math · #6

: Λιγότερο δεν γίνεται.png (92.02 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

Φέρουμε από το κέντρο

του κύκλου παράλληλη προς την διχοτόμο (δ) της γωνίας

.
Θα δείξουμε ότι τα σημεία τομής της ευθείας αυτής με τον κύκλο είναι αυτά για τα οποία ελαχιστοποιείται/μεγιστοποιείται το άθροισμα των αποστάσεων από τις ευθείες y=6

και

.

Έχουμε για κάθε σημείο

του κύκλου ότι

S_1S+S_2S=AS\cdot \sin(\theta+\phi)+AS\cdot \sin(\theta-\phi)=2AS\cos(\phi)\sin(\theta)=2AS_3\sin(\theta)

, όπου $\phi$ η γωνία που σχηματίζουν η διχοτόμος και η

.
Άρα το άθροισμα εξαρτάται μόνο από το

AS_3

(η γωνία $\theta$ είναι σταθερή,

22,5\degree

).
Με άλλα λόγια το άθροισμα εξαρτάται μόνο από την προβολή του σημείου

του κύκλου στην δ.
Όμως τα άκρα της παράλληλης διαμέτρου προς την διχοτόμο οριοθετούν το σύνολο των προβολών των σημείων του κύκλου στην διχοτόμο.
Για να βρούμε και αναλυτικά τις συντεταγμένες των δυο άκρων, αρχικά βρίσκουμε την εξίσωση της διχοτόμου από την γνωστή σχέση

d(M, y=6) = d(M, y-x+6=0)\Leftrightarrow\frac{|y - 6|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|y-x+6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}

,
απ' όπου παίρνουμε την ευθεία με θετική κλίση

y = (\sqrt{2} - 1)x + 18 - 12\sqrt{2}

.
Συνεπώς η ευθεία

έχει εξίσωση

y = (\sqrt{2} - 1)x

.
Λύνοντας το σύστημα

\left\{\begin{matrix} y = (\sqrt{2} - 1)x\\ x^2+y^2=25 \end{matrix}\right.

με την βοήθεια λογισμικού έχουμε
για το ελάχιστο

S_{min}\left ( \frac{5 \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, (\frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{5}{2}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right )

ή

\boxed{S_{min}\left (4.6194, 1.9134\right )}

και
για το μέγιστο

\boxed{S_{max}\left (-4.6194, -1.9134\right )}

Λιγότερο δεν γίνεται

Λιγότερο δεν γίνεται

Re: Λιγότερο δεν γίνεται

Re: Λιγότερο δεν γίνεται

Re: Λιγότερο δεν γίνεται

Re: Λιγότερο δεν γίνεται

Re: Λιγότερο δεν γίνεται

Μέλη σε σύνδεση