εκθετική εξίσωση

vanalex · #1

Γεια χαρά σε όλους!

Μπορεί μήπως κάποιος να μου δώσει μια ιδέα για την παρακάτω εξίσωση;

$10^{log^{2}x}+x^{logx}=20$

Ευχαριστώ πολύ

#2

vanalex έγραψε:Γεια χαρά σε όλους!

Μπορεί μήπως κάποιος να μου δώσει μια ιδέα για την παρακάτω εξίσωση;

$10^{log^{2}x}+x^{logx}=20$

Ευχαριστώ πολύ

Υπόδειξη: Είναι $10^{\log^{2}x}=(10^{\log x})^{\log x}=x^{\log x}$ .

Κάνε τις πράξεις στο αριστερό μέλος και πάρε το λογάριθμο και των δυο μελών..και μετά...βρές το

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

papel · #3

achilleas έγραψε:
vanalex έγραψε:Γεια χαρά σε όλους!

Μπορεί μήπως κάποιος να μου δώσει μια ιδέα για την παρακάτω εξίσωση;

$10^{log^{2}x}+x^{logx}=20$

Ευχαριστώ πολύ
Υπόδειξη: Είναι $10^{\log^{2}x}=(10^{\log x})^{\log x}=x^{\log x}$ .

Κάνε τις πράξεις στο αριστερό μέλος και πάρε το λογάριθμο και των δυο μελών..και μετά...βρές το .

Φιλικά,

Αχιλλέας

To x=10 okay?

chris · #4

Βασικά μετά τις πράξεις που υποδεικνύει ο Αχιλλέας παίρνουμε x=10

ή $x=\frac{1}{10}$

sorfan · #5

vanalex έγραψε:Γεια χαρά σε όλους!

Μπορεί μήπως κάποιος να μου δώσει μια ιδέα για την παρακάτω εξίσωση;

$10^{log^{2}x}+x^{logx}=20$

Ευχαριστώ πολύ

Από την ιδιότητα $\alpha^{log\theta }=\theta$ μπορούμε να γράψουμε
$x^{logx}=10^{logx^{logx}}=10^{(logx)(logx)}=10^{log^2x}$ , οπότε η δοθείσα γράφεται:
$2(10^{log^2x})=20\Leftrightarrow 10^{log^2x}=10\Leftrightarrow log^2x=1\Leftrightarrow logx=1$ ή logx=-1

. Επομένως, x=10

ή $x=10^{-1}$ .

vanalex · #6

ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας, εγω κάπως έτσι την έκανα:

$(10^{logx})^{logx}+x^{logx}=20\Rightarrow x^{logx}+x^{logx}=20\Rightarrow 2x^{logx}=20\Rightarrow x^{logx}=10\Rightarrow logx^{logx}=log10\Rightarrow log^{2}x=1\Rightarrow logx=\pm 1\Rightarrow x=10, x=10^{-1}$

Μια τελευταία απορία σε μία άλλη την οποία την έλυσα κάπως έτσι:

$x^{(logx^{2})^{2}}=4\Rightarrow x^{(2logx)^{2}}=4\Rightarrow x^{4log^{2}x}=4\Rightarrow (x^{log^{2}x})^{4}=4\Rightarrow x^{log^{2}x}=4^{\frac{1}{4}}\Rightarrow logx^{log^{2}x}=log4^{\frac{1}{4}}\Rightarrow log^{3}x=\frac{log4}{4}\Rightarrow logx=\left(\frac{log4}{4} \right)^{\frac{1}{3}}$

οπότε αφού κατέληξα εδώ βρίσκω το x. Κάτι δε μου πάει καλά όμως. Π.χ. την παράσταση $(logx^{2})^{2}$
την ανέλυσα παραπάνω κάπως έτσι:

$(logx^{2})^{2}=(2logx)^{2}=4log^{2}x$

Γιατί να μην αναλυθεί έτσι:

$(logx^{2})^{2}=log^{2}x^{2}=2log^{2}x$ κάτι το οποίο προφανώς θα βγάλει διαφορετικό αποτέλεσμα.

Ευχαριστώ για το χρόνο σας..

chris · #7

vanalex έγραψε: την ανέλυσα παραπάνω κάπως έτσι:

$(logx^{2})^{2}=(2logx)^{2}=4log^{2}x$

Γιατί να μην αναλυθεί έτσι:

$(logx^{2})^{2}=log^{2}x^{2}=2log^{2}x$ κάτι το οποίο προφανώς θαβγάλει διαφορετικό αποτέλεσμα
Ευχαριστώ για το χρόνο σας..

Προσοχή: στη δεύτερη περίπτωση που αναφέρεις δεν ισχύει η ισότητα.
Λίγο πιο αναλυτικά είναι $(logx^{2})^{2}=log^{2}x^{2}=logx^{2}\cdot logx^{2}=2logx\cdot 2logx=4log^{2}x$
Δηλαδή αν παρατηρήσεις ο λογάριθμος είναι όλος υψωμένος στο τετράγωνο και συνεπώς και ο εκθέτης του χ θα πρέπει να υψωθεί σε αυτό μετά τη χρήση της ιδιότητας.

vanalex · #8

Σ' ευχαριστώ πολύ chris..καμιά φορά κολλάει το μυαλό με απλά πράγματα...Δηλαδή η λύση που έγραψα ισχύει; Δεν είναι λίγο περίεργο το αποτέλεσμα;

$logx=\left(\frac{log4}{4} \right)^{^{\frac{1}{3}}}\Rightarrow x=10^{\left(\frac{log4}{4} \right)^{\frac{1}{3}}}$ ;

chris · #9

Α ποτέ μην κρίνεις απο το αποτέλεσμα.Βέβαια γίνεται μια μικρή απλοποίηση δηλ. $\frac{log4}{4}=\frac{2log2}{4}=\frac{log2}{2}=log_{100}2$ αλλά απο εκεί και πέρα δε βλέπω κάτι άλλο

vanalex · #10

Σ' ευχαριστώ και πάλι...

εκθετική εξίσωση

εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Re: εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση