Θεματα Γενικής 2010

Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3940
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Θεματα Γενικής 2010

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Μάιος 17, 2010 10:00 am

Μόλις δημοσιεύθηκαν τα θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας τα οποία επισυνάπτω.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Αλέξανδρος
Συνημμένα
them_mat_gen_c_hmer_no_1006.pdf
(203.6 KiB) Μεταφορτώθηκε 403 φορές


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2326
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:04 am

ξεκινάω με το δεύτερο θέμα

ΘΕΜΑ 2ο

Β1 Για \displaystyle{x \ne 1} έχουμε :

\displaystyle{ 
\frac{{f(x) - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\sqrt {x^2  - x + 1}  - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2(\sqrt {x^2  - x + 1}  - 1)}}{{x - 1}} =  
}
\displaystyle{ 
 = \frac{{2x(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {x^2  - x + 1}  + 1)}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x^2  - x + 1}  + 1}} =  
}

επομένως

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x}}{{\sqrt {x^2  - x + 1}  + 1}} = 1 
}

Β2 Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
\displaystyle{ f^{\prime}(x)} \displaystyle{ 
 = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {x^2  - x + 1} }} 
}
επομένως
\displaystyle{f^{\prime}(0)=  - 1}


Β3 Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον οριζόντιο άξονα έχουμε ότι εφω = - 1 δηλαδή ω = 135.


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1833
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Θεματα Γενικής 2010

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Δευ Μάιος 17, 2010 10:13 am

Οι ορισμοί στο Α3 είναι οκ;


Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Θεματα Γενικής 2010

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:23 am

rek2 έγραψε:Οι ορισμοί στο Α3 είναι οκ;
Η δική σου γνώμη ποια είναι;


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:23 am

Το θέμα Γ μοιάζει με το θέμα που είχα βάλει εδώ (δείτε το θέμα 1) viewtopic.php?f=18&t=5806!!

Δίνω συνοπτικές λύσεις,

Γ1) Αρχικά η πρώτη κλάση είναι \displaystyle{ 
[0,c) 
} ενώ η δεύτερη κλάση είναι της μορφής \displaystyle{ 
[c,2c) 
} άρα \displaystyle{ 
\frac{{c + 2c}}{2} = 6 \Leftrightarrow 3c = 12 \Leftrightarrow c = 4 
}

οπότε κλάσεις είναι \displaystyle{ 
[0,4),\left[ {4,8} \right),\left[ {8,12} \right),\left[ {12,16} \right),\left[ {16,20} \right) 
} και τα κέντρα των κλάσεων είναι: \displaystyle{ 
2,6,10,14,18 
}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:32 am

Γ2) Η μέση τιμή είναι:

\displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 
}

ενώ η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: \displaystyle{ 
s = \sqrt {25}  = 5 
}

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, \displaystyle{ 
CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 
} δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Δευ Μάιος 17, 2010 10:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΝΙΕΡΗΣ
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Δευ Μάιος 11, 2009 11:23 am

Re: Θεματα Γενικής 2010

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΝΙΕΡΗΣ » Δευ Μάιος 17, 2010 10:35 am

cretanman έγραψε:Μόλις δημοσιεύθηκαν τα θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας τα οποία επισυνάπτω.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Αλέξανδρος
Καμία σχέση πάντως με τα περσινά θέματα...!


Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:41 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γ2) Η μέση τιμή είναι:

\displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 
}

ενώ η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: \displaystyle{ 
s = \sqrt {25}  = 5 
}

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, \displaystyle{ 
CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 
} δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)
Γ4) Εδώ νομίζω ότι υπάρχει ένα θέμα από 7 που λέει η άσκηση έως 14 κιλά, αφού δεν λέει κάπου αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες, πάντως δίνουμε την απάντηση που ενδείκνεται,

από [4,6) έχουμε 20 παρατηρήσεις, και από [6,8) έχουμε άλλες 20 παρατηρήσεις, οπότε από [7,8) έχουμε 10 παρατηρήσεις, άρα συνολικά από 7 έως 14 κιλά έχουμε 10+45+ 30/2 =10+ 45 +15 =70 παρατηρήσεις

Επομένως η πιθανότητα είναι: 70/160 = 7/16 (από τον ορισμό της κλασσικής πιθανότητας, ευνοϊκές περιπτώσεις προς δυνατές περιπτώσεις)


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Μάιος 17, 2010 10:43 am

Στο Γ4 οι δυνατές περιπτώσεις είναι :
10 από τη δεύτερη κλάση
45 από την τρίτη
14 από την τέταρτη κλάση
70 σύνολο
άρα η πιθανότητα είναι 7/16

Με πρόλαβε ο Μάκης.
Πάντως Μάκη από τη σχετική παρατήρηση που έχει το βιβλίο σε παράδειγμα στη σελίδα 86 αφήνει να διαφανεί ότι μπορούμε να θεωρούμε ομοιόμορφα κατανεμημένες τις παρατηρήσεις στις κλάσεις...Δε δόθηκε διευκρίνιση;
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Δευ Μάιος 17, 2010 10:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3940
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Μάιος 17, 2010 10:46 am

Χωρίς να γνωρίζω τον τρόπο βαθμολόγησης του Δ1, εκτιμώ ότι η διαδικασία βαθμολόγησής του θα είναι αρκετά επίπονη διαδικασία όπου η ελλιπής δικαιολόγηση στα γραπτά κάποιων μαθητών θα δώσει διαφορετικούς τρόπους βαθμολόγησης από βαθμολογικό σε βαθμολογικό (εννοείται ότι τέτοιο ζήτημα δεν τίθεται για γραπτά που έχουν απαντημένο σωστά το ερώτημα).

Θα πρέπει λοιπόν να δωθούν πολύ συγκεκριμένες οδηγίες για τα παρακάτω βήματα: εύρεση παραγώγου, εύρεση ριζών, απόρριψη της μία ρίζας, πρόσημο του τριωνύμου λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη0\leq P(A) \leq 1 (εδώ κατά τη γνώμη μου θα πρέπει να δωθούν πολύ καλές διευκρινήσεις) και ΤΕΛΙΚΑ εύρεση της μονοτονίας και του ακροτάτου.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:50 am

Θέμα Δ
Δ1) Έχουμε, \displaystyle{ 
f'\left( x \right) = \frac{{\left( {1 - x + P\left( A \right)} \right)\left( {1 - P\left( A \right) + x} \right)}}{{x - P\left( A \right)}} 
} άρα η \displaystyle{ 
f'\left( x \right) > 0 
} όταν \displaystyle{ 
1 - x + P\left( A \right) > 0 \Leftrightarrow x < 1 + P(A) 
} και αν κάνουμε τον πίνακα μεταβολών βρίσκουμε ότι η f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο χ = 1 + Ρ(Α), ενώ είναι γν. αύξουσα στο διάστημα ((Ρ(Α), 1+Ρ(Α)) και γν. φθίνουσα στο (1+Ρ(Α), \displaystyle{ + \infty })


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Gerasimos92
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 30, 2010 9:59 am
Τοποθεσία: Γλασκώβη
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Gerasimos92 » Δευ Μάιος 17, 2010 10:55 am

Μόλις επέστρεψα!

Καλά ήταν τα θέματα, λιγάκι πιο δύσκολα απο πέρσι.

Πιστεύω έγραψα πολύ καλά.

(βρήκα τα αποτελέσματα που βρήκατε και εσείς :D )


Άβαταρ μέλους
swsto
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 385
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:43 pm

Re: Θεματα Γενικής 2010

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από swsto » Δευ Μάιος 17, 2010 10:57 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γ2) Η μέση τιμή είναι:

\displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 
}

ενώ η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: \displaystyle{ 
s = \sqrt {25}  = 5 
}

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, \displaystyle{ 
CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 
} δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)


Και με τον τυπο που δινανε δεν ειναι τοσο δυσκολα τα νουμερα


Σωτήρης Στόγιας
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 10:58 am

Δ2) 'Εχουμε \displaystyle{ 
1 + P\left( A \right) = \frac{5}{3} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{2}{3} 
} και \displaystyle{ 
f\left( {\frac{5}{3}} \right) = 0 
} άρα,

\displaystyle{ 
\ln \left( {\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{2}\left( {\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \right)^2  + P\left( B \right) = 0 \Leftrightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} 
}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μάιος 17, 2010 11:03 am

Δ3) Έχουμε, \displaystyle{ 
P\left( {\left( {A\bigcap B } \right)^\prime  } \right) = 1 - P\left( {A\bigcap B } \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A\bigcup B } \right) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3} 
}

Δ4) Τέλος,
\displaystyle{ 
P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2} 
}
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Δευ Μάιος 17, 2010 11:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Gerasimos92
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 30, 2010 9:59 am
Τοποθεσία: Γλασκώβη
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Gerasimos92 » Δευ Μάιος 17, 2010 11:04 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)
Και εγώ αυτόν τον τύπο χρησιμοποίησα!! Δεν πιστεύω να μου κόψει τίποτα...


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2559
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: Θεματα Γενικής 2010

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από polysot » Δευ Μάιος 17, 2010 11:09 am

Εναλλακτικά
Δ4.
Λάθος στις πράξεις...
τελευταία επεξεργασία από polysot σε Δευ Μάιος 17, 2010 11:22 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
antonisant1
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 31, 2009 7:36 pm

Re: Θεματα Γενικής 2010

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από antonisant1 » Δευ Μάιος 17, 2010 11:12 am

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Δ3) Έχουμε, \displaystyle{ 
P\left( {\left( {A\bigcap B } \right)^\prime  } \right) = 1 - P\left( {A\bigcap B } \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A\bigcup B } \right) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3} 
}

Δ4) Τέλος,
\displaystyle{ 
P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2 
} 
}
τελευταία επεξεργασία από antonisant1 σε Δευ Μάιος 17, 2010 11:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
lonis
Δημοσιεύσεις: 406
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 12:33 am
Τοποθεσία: Σέρρες

Re: Θεματα Γενικής 2010

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από lonis » Δευ Μάιος 17, 2010 11:13 am

Μάκη, σου έφυγε ένα δυαράκι, νομίζω! Το προσθέτω - με την άδειά σου :coolspeak: :
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: \displaystyle{ 
P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2} 
}
Λεωνίδας


Κάνε το θαύμα για να τ' αρνηθείς (Α. Μπρετόν - Π. Ελυάρ)
gmouzou
Δημοσιεύσεις: 9
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:30 am

Re: Θεματα Γενικής 2010

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gmouzou » Δευ Μάιος 17, 2010 11:13 am

προσοχη στο δ4 το σωστο αποτελεσμα είναι
1/2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Πανελλήνιες Εξετάσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες