Τρίγωνο - διχοτόμοι

p_gianno · #1

Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΕ και ΖΓ διχοτόμοι των γωνιών Β και Ε αντιστοίχως. Αν Ι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και ΙΕ=ΙΖ να δειχθεί ότι είτε τριγΑΒΓ ισοσκελές είτε γωνΒΑΓ=60

#2

math_finder έγραψε:Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΕ και ΖΓ διχοτόμοι των γωνιών Β και Ε αντιστοίχως. Αν Ι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και ΙΕ=ΙΖ να δειχθεί ότι είτε τριγΑΒΓ ισοσκελές είτε γωνΒΑΓ=60

Βλέπω στην οθόνη τον Γιώργο Ρίζο και θυμήθηκα την τριγωνομετρία.

Εδώ στο βαθμολογικό που είμαι, έκανα στα γρήγορα μια λυσούλα με τον νόμο ημιτόνων , πρώτα στα τρίγωνα ΙΒΖ , ΙΓΕ για τις πλευρές (ΙΖ,ΙΒ) , (ΙΕ,ΙΓ) αντίστοιχα. ΑΝ διαιρέσουμε κατά μέλη αυτές τις σχέσεις και χρησιμοποιήσουμε μετά το νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ΙΒΓ για τις πλευρές (ΙΒ,ΙΓ) παίρνουμε μια ισότητα με ημίτονα.
Πολύ εύκολα προκύπτει το ζητούμενο. Θα γράψει ο Γιώργος τη λύση αναλυτικά, το αισθάνομαι, οπότε δεν θα χρειαστεί να πω τις λεπτομέρειες.

Μπάμπης

S.E.Louridas · #3

<Β=<Γ ή το ΑΖΙΕ εγγεγραμμένο τετράπλευρο,από την ισότητα τών ορθογώνιων τριγώνων ΙΕΤ στην Τ, ΙΖΡ στην Ρ με Τ σημείο της ΑΓ και Ρ της ΑΒ......

S.E.Louridas

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Βλέπω στην οθόνη τον Γιώργο Ρίζο και θυμήθηκα την τριγωνομετρία.

Εδώ στο βαθμολογικό που είμαι, έκανα στα γρήγορα μια λυσούλα με τον νόμο ημιτόνων , πρώτα στα τρίγωνα ΙΒΖ , ΙΓΕ για τις πλευρές (ΙΖ,ΙΒ) , (ΙΕ,ΙΓ) αντίστοιχα. ΑΝ διαιρέσουμε κατά μέλη αυτές τις σχέσεις και χρησιμοποιήσουμε μετά το νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ΙΒΓ για τις πλευρές (ΙΒ,ΙΓ) παίρνουμε μια ισότητα με ημίτονα.
Πολύ εύκολα προκύπτει το ζητούμενο. Θα γράψει ο Γιώργος τη λύση αναλυτικά, το αισθάνομαι, οπότε δεν θα χρειαστεί να πω τις λεπτομέρειες.

Μπάμπης

Μπάμπη, γεια!

Είναι να μη σου βγει το όνομα τελικά...
Βέβαια "κάλλιο να σου βγει το όνομα, παρά το μάτι"

.
Πράγματι, μόλις είχα παιδευτεί με το θέμα εδώ και τριγυρνούσα σε άλλα θέματα.

Ας το παλέψουμε πρώτα γεωμετρικά Ο Σωτήρης έχει ήδη ξετυλίξει το κουβάρι. Φαίνεται ενδιαφέρουσα άσκηση.

Γιώργος Ρίζος

#5

Παναγιώτη, μια υπέροχη παγίδα! Αν δεν είχες δώσει τη διπλή επιλογή στην εκφώνηση, (και τη σαφή υπόδειξη ο Σωτήρης), δεν θα διέκρινα τις δύο περιπτώσεις!
Εξαιρετικό

Ας φροντίσουμε για τη σωστή ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ χρήση στην τάξη! Καταλαβαίνετε τι εννοώ. Κάτι που μπορεί να αποδειχτεί χρυσάφι στη διδασκαλία, αν δεν το χειριστούμε σωστά, μπορεί να απογοητεύσει και να κόψει τα φτερά των μαθητών....

: 21-05-2010 Geometry (2).png (33.15 KiB) Προβλήθηκε 1639 φορές

Φέρνουμε τις κάθετες ΙΡ και ΙΤ από το Ι στις πλευρές του τριγώνου ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, που είναι ίσες ως ακτίνες του εγγεγραμμένου κύκλου.

Περίπτωση 1η: Τα Ρ, Τ ταυτίζονται με τα Ζ, Ε.
Τότε: $\displaystyle \widehat{{\rm Z}{\rm I}{\rm E}} = 180^\circ - \widehat{\rm A}$ .
Όμως η γωνία $\displaystyle \widehat{{\rm B}{\rm I}\Gamma } = \widehat{{\rm Z}{\rm I}{\rm E}} = 90^\circ + \frac{{\widehat{\rm A}}}{2}$
(γνωστό θεώρημα ή άσκηση σε όλα σχεδόν τα βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Άρα $\displaystyle 180^\circ - \widehat{\rm A} = 90^\circ + \frac{{\widehat{\rm A}}}{2}\; \Leftrightarrow \;\;\widehat{\rm A} = 60^\circ$

Περίπτωση 2η: Τα Ρ, Τ δεν ταυτίζονται με τα Ζ, Ε.

Τότε τα ΖΙΡ, ΤΙΕ είναι ίσα (έχουν υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες).
Τότε $\displaystyle \widehat{{\rm P}{\rm Z}{\rm I}} = \widehat{{\rm T}{\rm E}{\rm I}}\; \Rightarrow \;\widehat{{\rm I}{\rm Z}{\rm A}} = \widehat{{\rm I}{\rm E}{\rm A}}\; \Rightarrow \;2\omega + \phi = 2\phi + \omega \; \Rightarrow \;\omega = \phi \; \Rightarrow \;\widehat{\rm B} = \widehat\Gamma$

ΔΕΥΤΕΡΗ ΛΥΣΗ (Παραγγελιά του Μπάμπη)

Στο ΖΙΒ: $\displaystyle \frac{{{\rm Z}{\rm I}}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{\eta \mu {\rm I}_1 }}$ , στο ΓΙΕ: $\displaystyle \frac{{{\rm I}{\rm E}}}{{\eta \mu \phi }} = \frac{{\Gamma {\rm E}}}{{\eta \mu {\rm I}_2 }}$ , οπότε, αφού $\displaystyle \widehat{\rm I}_1 = \widehat{\rm I}_2$ (κατά κορυφήν): $\displaystyle \Gamma {\rm E} \cdot \eta \mu \phi = {\rm B}{\rm Z} \cdot \eta \mu \omega$ .

Στο ΒΖΓ: $\displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{{\eta \mu \phi }} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\eta \mu {\rm Z}_1 }}$ , στο ΒΓΕ: $\displaystyle \frac{{\Gamma {\rm E}}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\eta \mu {\rm E}_1 }}$ , οπότε $\displaystyle \eta \mu {\rm E}_1 = \eta \mu {\rm Z}_1 \; \Rightarrow \;\widehat{\rm E}_1 + \widehat{\rm Z}_1 = 180^\circ \;\;\;\eta \;\;\;\widehat{\rm E}_1 = \widehat{\rm Z}_1$

και συνεχίζουμε όπως παραπάνω....

Παρατηρήστε ότι η τριγωνομετρία δεν ξεγελιέται από το σχήμα! Οι δύο περιπτώσεις προκύπτουν από την ισότητα των ημιτόνων...

Νομίζω ότι συνδυάζοντας τις δύο λύσεις έχουμε ένα ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΤΑΤΟ ΠΑΚΕΤΟ. Ευχαριστούμε τον Παναγιώτη, τον Μπάμπη και τον Σωτήρη.

ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ: Ρωτήστε τους μαθητές σας: Ο Νόμος Ημιτόνων οδήγησε στη μία περίπτωση σε $\displaystyle \widehat{\rm E}_1 + \widehat{\rm Z}_1 = 180^\circ$ .

Πώς θα προκύψει ότι οι γωνίες $\displaystyle \widehat{\rm E}_1 , \widehat{\rm Z}_1$ είναι ορθές;

Γιώργος Ρίζος

#6

math_finder έγραψε:Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΕ και ΖΓ διχοτόμοι των γωνιών Β και Ε αντιστοίχως. Αν Ι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και ΙΕ=ΙΖ να δειχθεί ότι είτε τριγΑΒΓ ισοσκελές είτε γωνΒΑΓ=60

...αυτό σημαίνει ότι αν η γωνία είναι 60, τότε το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές;

S.E.Louridas · #7

Απλά και στη φάση που το Ε ειναι ανάμεσα στά Τ, Γ και το Ζ εκεί που είναι πάλι το τετράπλευρο βγαίνει εγγράψιμμο.
Γιά παράδειγμα <Α=60-μοίρες, <Β=100-μοίρες και <Γ=20-μοίρες.
Πράγματι έχει δυναμικό ενδιαφέρον.Μεθοδολογικά σημασία έχει να ''κολήσουμε'' στήν συμπεριφορά του έκκεντρου που ισαπέχει από τις πλευρές και επομένως σε ισότητα.
Φίλε μου Κώστα (rek2) Χρόνια πολλά πολλά και καλά γεμάτα υγεία και χαρά.
Και γιά να δώ αν θυμάμαι το τέ δεν σημαίνει και και αρα το είτε ή το ενα ή το άλλο ή και τα δύο;

S.E.Louridas

#8

Κώστα, από την παραπάνω επεξεργασία, προκύπτει ότι αν οι διχοτόμοι από τα Β και Γ είναι και ύψη, τότε προφανώς το ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, ενώ αν δεν είναι, πρόκειται απλά για ισοσκελές με βάση ΒΓ.

Γιώργος Ρίζος

Φαντάζομαι ότι διακρίνεται η περίπτωση στην εκφώνηση για να οδηγηθεί ο λύτης στις δύο περιπτώσεις. Πράγματι, το είτε πρέπει να αντικατασταθεί.

p_gianno · #9

rek2 έγραψε:
math_finder έγραψε:Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΕ και ΖΓ διχοτόμοι των γωνιών Β και Ε αντιστοίχως. Αν Ι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και ΙΕ=ΙΖ να δειχθεί ότι είτε τριγΑΒΓ ισοσκελές είτε γωνΒΑΓ=60
...αυτό σημαίνει ότι αν η γωνία είναι 60, τότε το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές;

Κώστα καταρχήν "Χρόνια πολλά"
Η εκφώνηση είναι "prove that either <BAC=60 or triangle ABC is isosceles
Φαντάζομαι ότι BAC=60 δεν αποκλείει το ΑΒC ισοσκελές αφού σε ισόπλευρο τρίγωνο ικανοποιούνται όλες οι υποθέσεις και τα δύο ζητούμενα.(όπως λέει και ο Γιώργος πιο πριν)
Αν το 'είτε' είναι η αποκλειστική διάζευξη τότε θα έπρεπε αντί αυτού να υπάρχει το "ή" και θεώρησε ως ατυχή την μετάφραση.

p_gianno · #10

Η αντιμετώπισή μου

p_gianno · #11

math_finder έγραψε:
rek2 έγραψε:
math_finder έγραψε:Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΒΕ και ΖΓ διχοτόμοι των γωνιών Β και Ε αντιστοίχως. Αν Ι το έγκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ και ΙΕ=ΙΖ να δειχθεί ότι είτε τριγΑΒΓ ισοσκελές είτε γωνΒΑΓ=60
...αυτό σημαίνει ότι αν η γωνία είναι 60, τότε το τρίγωνο δεν είναι ισοσκελές;

Κώστα καταρχήν "Χρόνια πολλά"
Η εκφώνηση είναι "prove that either <BAC=60 or triangle ABC is isosceles
Φαντάζομαι ότι BAC=60 δεν αποκλείει το ΑΒC ισοσκελές αφού σε ισόπλευρο τρίγωνο ικανοποιούνται όλες οι υποθέσεις και τα δύο ζητούμενα.(όπως λέει και ο Γιώργος πιο πριν)
Αν το 'είτε' είναι η αποκλειστική διάζευξη τότε θα έπρεπε αντί αυτού να υπάρχει το "ή" και θεώρησε ως ατυχή την μετάφραση.

Τελικά ξεσκονίζοντας το βιβλίο των Βαβαλέσκου- Μπούσγου σελίδα 13 βλέπω ότι η λέξη "είτε" είναι η ενδεδειγμένη γιατι μπαίνει σε προτάσεις που τουλάχιστον η μία , δηλαδή ενδεχομένως και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς όπως παρατηρεί πιο πριν και ο Σωτήρης οπότε δεν υπάρχει πρόβλημα στην εκφώνηση. (και η διάζευξη αυτή ονομάζεται εγκλειστική)

S.E.Louridas · #12

Να που υπάρχουν ασκήσεις όπως αυτή που ανοίγουν τους ασκούς του
«Μαθηματικού» Αιόλου. Να και μία άλλη διδακτική προσέγγιση :
Θεωρούμε τον περιγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο ΑΖΕ. Αν διέρχεται από το Ι εύκολα έχουμε <Α=60-μοίρες ,αν τέμνει την ΑΙ σε άλλο σημείο, έστω Τ από την ισότητα των τριγώνων ΖΤΙ και ΕΤΙ κατανοούμε ότι η ευθεία ΤΙΑ είναι μεσοκάθετη της ΖΕ που δίνει πανεύκολα <Β=<Γ.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #13

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ:
Φίλε Γιώργο θα μπορούσαμε λοιπόν διδακτικά να επισημάνουμε και την διαδικασία δημιουργίας με βάση ένα πρόβλημα δηλαδή,
Μία ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε <Α=60-μοίρες έναι ο περιγεγραμμένος κύκλος στο τρ. ΑΖΕ να διέρχεται από το έκκεντρο. Συμφωνείς;
(γιατί υπάρχουν και μαθητές πού θέλουν την ομορφιά των Μαθηματικών)

S.E.Louridas

Τρίγωνο - διχοτόμοι

Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Re: Τρίγωνο - διχοτόμοι

Μέλη σε σύνδεση