Μυρμήγκια παντού

[chris_gatos]

Μια ακολουθία μυρμηγκιών (!) περπατούν απο το σημείο (0,0) του επιπέδου πρός το σημείο (1,0). Το n-ιοστό μυρμήγκι
περπατάει πάνω σε ημικύκλια ακτίνας 1/n των οποίων οι διάμετροι βρίσκονται πάνω στον άξονα χ'χ απο το (0,0) έως το
(1,0),
Συμβολίζουμε με Ln το μήκος όλων αυτών των ημικυκλίων που περπατήθηκαν απο το μυρμήγκι.

Να βρείτε το



(Θέμα σε διαγωνισμό το 2001. Τα δικά μας αντίστοιχα μυρμήγκια έλαβαν χώρα το σωτήριο έτος 1999 με 1999 μυρμήγκια.
Λέτε να εμπνεύστηκαν οι Αμερικανοί απο εμάς; Γιατί όχι; )

[gbag]

Chris, Good Evening (μια και η άσκηση προέρχεται από Αμερική)
Μήπως το μυρμήγκι διατρέχει n ημικύκλια ακτίνας 1/n
άρα έχουμε n*1/2*2π*1/n = π Επομένως το όριο είναι π.

Γιώργος

[chris_gatos]

E, μα ναι!!



Thanks George...

[polysot]

Είχε ανεβάσει και ο Νίκος ο Μαυρογιάννης ένα μυρμηγκο=φυλλάδιο, αλλά δε θυμάμαι που ακριβώς...

Μάλλον, το πήραν τα μυρμήγκια από το μυαλό μου....

[Φωτεινή]

Είχε ανεβάσει και ο Νίκος ο Μαυρογιάννης ένα μυρμηγκο=φυλλάδιο, αλλά δε θυμάμαι που ακριβώς...

Μάλλον, το πήραν τα μυρμήγκια από το μυαλό μου....

μήπως Ε Δ Ω ;;;

[polysot]

Είχε ανεβάσει και ο Νίκος ο Μαυρογιάννης ένα μυρμηγκο=φυλλάδιο, αλλά δε θυμάμαι που ακριβώς...

Μάλλον, το πήραν τα μυρμήγκια από το μυαλό μου....

μήπως Ε Δ Ω ;;;

Και βέβαια γνωρίζω πάντα ότι είτε η Φωτεινή είτε ο Μάκης είτε ο Αναστάσης θα θυμούνται σίγουρα αυτό που ξεχνώ εγώ...

[billy_scabilly]

Sorry αλλα n div 2 ημικύκλια δεν περπατάει κάθε μυρμήγκι εφόσον η ακτίνα είναι 1/n ?? Για n=4 πχ θα περπατήσει δύο ημικύκλια,θα πάει μέχρι το (1/4,1/4),μετά στο τέλος του πρώτου-αρχή του δεύτερου για χ=1/2 μετά στο (3/4,1/4) και μετά θα φτάσει στο τέλος περνώντας δύο ημικύκλια συνολικά...
Επίσης για n περιττό περπατώντας πάνω στα ημικύκλια δεν θα φθάσει στο (1,0) αλλά στο (1,1/n) ή (1,-1/n) ανάλογα που βρίσκεται το τελευταίο ημικύκλιο,αφού δεν προλαβαίνει να συμπληρωθεί ημικύκλιο.Δείτε το για n=3.Μήπως ζητάει το ορίο του L(2n) ή μήπως δεν κατάλαβα κάτι καλά εγώ?(είναι και βράδυ,forgive me )

[chris_gatos]

Καλημέρα!
Είναι πρωϊ, μόλις ξύπνησα και ειλικρινά δεν καταλαβαίνω την ένσταση σου.
n=3;
Mα το n τείνει στο +00...
Δηλαδή στις διαμερίσεις Riemman παίζει ρόλο αν το n είναι άρτιος ή περιττός;
Αυτό πρώτη φορά το ακούω...
Θα σου ήταν εύκολο να γίνεις πιο απλός στην επεξήγηση;
Ευχαριστώ.

Η άσκηση είναι απο τα Harvard-Mit Tournaments 2001 στην κατηγορία Calculus. Μάλλον σ'αυτά τα πανεπιστήμια κάτι δεν πάει καλά...

[billy_scabilly]

Ναι οκ συμφωνώ,απλά δεν περπατούν όλα τα μυρμήγκια πάνω μέχρι το (1,0) ,επειδή αυτό λέει η εκφώνηση[Μια ακολουθία μυρμηγκιών (!) περπατούν απο το σημείο (0,0) του επιπέδου πρός το σημείο (1,0)],ναι στην οριακή κατάσταση προφανώς ισχύει(άλλο ήθελα να πω και το εξέφρασα λάθος).
Anyway,δεν ήταν αυτό το θέμα μου,αλλά ότι περπάτανε n div 2 ημικύκλια(αν περπατούσανε n τότε συνολικά θα φτάνανε στο σημείο με x=2/n*n=2).Just that...