Ανισότητα

AlexandrosG · #1

Έστω $\nu, \mu \in \mathbb{N}$ .Έστω επίσης $x_1,x_2,...,x_{\nu},y_1,y_2,...,y_{\nu} \geq 0$ τέτοιοι ώστε x_i+y_i=1

για κάθε $i \in \{1,2,...\nu\}$ .

Να αποδείξετε ότι

$(1-x_1x_2...x_{\nu})^{\mu}+(1-y_1^{\mu})(1-y_2^{\mu})...(1-y_{\nu}^{\mu}) \geq 1$

Bern · #2

Alex με επαγωγή.

Για $\nu=1$ ισότητα. Υποθέτεις ότι το έχεις για $\nu$ , οπότε για $\nu+1$ θα πάρεις: $\prod_{j=1}^{\nu+1}(1-y_j^\mu) &\geq (1-y_{\nu+1}^\mu)\left( 1-(1-x_1\ldots x_\nu)^\mu \right)$ .

Θέτεις $p:=x_1\ldots x_\nu$ οπότε αρκεί να δείξεις $(1-(1-x_{\nu+1})^\mu)(1-(1-p)^\mu) \geq 1-(1-px_{\nu+1})^\mu,$ χρησιμοποιώντας το $y_{\nu+1}=1-x_{\nu+1}$ .

Θέτεις $t=1-x_{\nu+1}\in [0,1]$ και $s=1-p\in [0,1]$ , όποτε έχεις να αποδείξεις ότι $(1-t^\mu)(1-s^\mu)+(1-(1-t)(1-s))^\mu\geq 1$ , ή ισοδύναμα $1+\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{s}-1\right)^\mu \geq\frac{1}{t^\mu}+\frac{1}{s^\mu}$ , για $0<t,s\leq 1$ .

Η τελευταία επαληθεύεται εύκολα.

#3

Με πιθανότητες: Έστω έχουμε

νομίσματα ώστε το

να φέρνει κορώνα με πιθανότητα x_i

και γράμματα με πιθανότητα y_i

. Ρίχνουμε το κάθε ένα

φορές. Τότε το $(1-x_1\cdots x_n)^m$ ισούται με την πιθανότητα για κάθε $1 \leqslant j \leqslant m$ τουλάχιστον ένα από τα νομίσματα στην

ρίψη του να φέρει γράμματα. Επίσης το $(1-y_1^m) \cdots (1-y_n^m)$ ισούται με την πιθανότητα για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$ το

νόμισμα να έρθει τουλάχιστον μία φορά κορώνα. Όμως τουλάχιστον ένα από τα δύο ενδεχόμενα θα συμβεί αφού αν π.χ. δεν συμβεί το δεύτερο τότε σημαίνει πως υπάρχει

ώστε όλες οι ρίψεις του

νομίσματος είναι γράμματα. Τότε όμως συμβαίνει το πρώτο ενδεχόμενο. Άρα το άθροισμα των πιθανοτήτων των δύο ενδεχομένων είναι τουλάχιστον

που αποδεικνύει το ζητούμενο.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση