Ευρεση τύπου αντίστροφης

#1

Αν $f:R\rightarrow R , f(0)=1 , f^{\prime}(x)=(2-f(x))e^{f(x)} , \forall x\in R$

τότε να δείξετε ότι $\exists f^{-1}$ και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφης και τον τύπο της $f^{-1}$ (υπό μορφή ολοκληρώματος)

Νομίζω ότι είναι μια πάρα πολύ ωραία άσκηση διότι χρειάζεται να ερευνηθούν πολλά πράγματα (επαναληπτικού χαρακτήρα)
Δεν δίνω αρχικά βοηθητικά ερωτήματα για να μην κατευθύνω την σκέψη. Η λύση είναι σχετικά μακροσκελής αλλά νομίζω ότι αυτή είναι μια ευκαιρία για επανάληψη μέσα από δημιουργική δουλειά. Δεν γνωρίζω αν υπάρχει κάποιος τρόπος που λύνει σύντομα την άσκηση σε λυκειακό επίπεδο

mathxl · #2

Καλημέρα, μία προσπάθεια στο κενό μου΄
Εύκολα βγάζουμε ότι η παράγωγος είναι 1-1 άρα εάν έχει ρίζα είναι μοναδική.
Έστω ότι η f παρουσιάζει δύο ακρότατα τότε από Φερμάτ η παράγωγος της θα έχει δύο ρίζες άτοπο.
Εάν λοιπόν έχει ακρότατο αυτό θα είναι ένα και θα το παρουσιάζει στο κ.
Για χ=κ στην δοσμένη σχέση βρίσκουμε f(κ) =2.Επειδή έχουμε f(0)=1<2 θα έχουμε μέγιστο στο κ. Από την δοσμένη σχέση προκύπτει ότι f΄(χ)>0 άρα f γνησίως αύξουσα.
Για χ>κ είναι f(χ)>2 άτοπο. Συνεπώς η συνάρτηση μας δεν παρουσιάζει ακρότατα και επειδή η f΄είναι 1-1 εάν έχει ρίζα η f΄ οφείλει να είναι μία και εκατέρωθεν της να διατηρεί πρόσημο . Συνεπώς από την δοσμένη σχέση βγαίνει το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη άρα 1-1 επομένως αντιστρέψιμη.
Η δοσμένη σχέση γίνεται $\displaystyle{\left[ {\left( {f^{ - 1} } \right)\left( y \right)} \right]^\prime = \frac{{e^{ - y} }}{{2 - y}},y \ne 2}$
απόπου παίρνουμε $\displaystyle{f^{ - 1} \left( y \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\int {\frac{{e^{ - y} }}{{2 - y}}dy,} y \ne 2} \\ {f^{ - 1} \left( 2 \right),y = 2} \\ \end{array}} \right.}$
Πολύ βιαστικά (οποιεσδήποτε συμπληρώσεις διορθώσεις επισημάνσεις καλοδεχούμενες) την άσκηση θα την ξαναδώ

#3

Το πεδίο ορισμού της αντίστροφης έχει πρόβλημα
μπορεί η f να έχει οριζόντια ασύμπτωτη
Έτσι δεν την όρισες στο 2
Οπως την έγραψες μπορεί να είναι και ασυνεχής στο 2??

mathxl · #4

Μχμχμχ.. δίκιο έχεις
Δείξαμε ότι είναι γνησίως μονότονη αλλά δεν το αξιοποιήσαμε αρκετά
Έστω λοιπόν ότι είναι γνησίως φθίνουσα τότε επειδή είναι παραγωγίσιμη αποκλείεται να υπάρχει σημείο στο οποίο η παράγωγος θα είναι θετική, όμως f΄(0)=(2-1)e=e >0 άτοπο οέο άρα είναι γνησίως αύξουσα.
Υποθέτουμε τώρα ότι όντως υπάρχει κ ώστε f(κ)=2 τότε από μονοτονία μπορούμε να αποδείξουμε ότι η f΄αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του κ και μηδενίζει σε αυτό άρα έχει ακρότατο, άτοπο. Συνεπώς το 2 banned από το πεδίο ορισμού της αντίστροφης. Επίσης f(χ)< 2 ειδάλλως θα ήταν γν. φθίνουσα
Τελικά η αντίστροφη θα είναι το ολοκλήρωμα που έδωσα όμως ορισμένη στο (-οο,2)

ΥΓ: Η f μπορεί να μελετηθεί ως προσ τα κοίλα( εάν παραγώγισα σωστά, έχει σημείο καμπής στο 0, πράγμα που βοηθά να την βγάλουμε κοίλη πάνω από το 0 και κυρτή κάτω από το 0)

#5

Δεν κατάλαβα καλά πως η παράγωγος βγαίνει 1-1 συμπέρασμα στο οποίο στηρίζεται όλος ο επόμενος συλλογισμός

mathxl · #6

R BORIS έγραψε:Δεν κατάλαβα καλά πως η παράγωγος βγαίνει 1-1 συμπέρασμα στο οποίο στηρίζεται όλος ο επόμενος συλλογισμός

Καλησπέρα
Ροδόλφε μπορείς να διαλέξεις όποια από τις παρακάτω απαντήσεις σου αρέσει περισσότερο στο πολλαπλης επιλογής που ακολουθεί ( είναι ισοδύναμες)
Α: έχω μία πολύ καλή και απλή απόδειξη αλλά τώρα δεν μπορώ να την΄αντιγράψω (είναι χαμένη ανάμεσα στις σημειώσεις μου)
Β: το πρωί στο κενό έκανα μπαρούφα οπότε δεν είναι καθόλου προφανές το 1-1 και τινάζεται όλη η " λύση " στον αέρα. Το κακό είναι ότι στο δεύτερο ποστ μου πάλι θεώρησα το 1-1 τελειωμένη υπόθεση και...
Γ:Επειδή βολεύει
Δ:Δεν ξέρω, μάλλον θα το προσθέσεις στην εκφώνηση

k-ser · #7

R BORIS έγραψε:Αν $f:R\rightarrow R , f(0)=1 , f^{\prime}(x)=(2-f(x))e^{f(x)} , \forall x\in R$

τότε να δείξετε ότι $\exists f^{-1}$

Ροδόλφε, είναι βέβαιο το 1-1 ;
Μπορώ να δικαιολογήσω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle (- \infty , \frac{1}{e}]$ .
Όμως, δεν μπορώ να αποκλείσω ότι θα υπάρχει $\displaystyle x_0 >\frac{1}{e}$ ώστε $f(x_0) \ne 2$ .

Θα το ξανακοιτάξω!

mathxl · #8

Από την σχέση που δίνεται, τα 2-f(χ) και f΄(χ) ομόσημα ή ταυτόχρονα μηδέν, όμως έτσι δεν αποκλείεται ο μηδενισμός σε σημεία τα οποία συγκροτούν διάστημα.
Επίσης παρατηρώ ότι η f(χ)=2 επαληθεύει την σχέση και δεν αντιστρέφεται

k-ser · #9

k-ser έγραψε:Επίσης παρατηρώ ότι η f(χ)=2 επαληθεύει την σχέση και δεν αντιστρέφεται

Βασίλη,
η σχέση δεν επαληθεύεται, αφού f(0)=1.

mathxl · #10

Σωστά, αυτό είναι ένδειξη ότι χρειάζομαι ύπνο...
Καληνύχτα

#11

Καλημέρα
Αν θέλετε να δώσω μια σειρά απο βοηθητικά ερωτήματα αλλά ας την αφήσουμε λίγο ακόμα καιρό άλυτη μήπως παρουσιαστεί κάποια άλλη λύση
1. Δείξτε ότι η f είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμη
2. Δείξτε ότι η f δεν είναι σταθερή
3. Δείξτε ότι η f δεν παίρνει την τιμή 2
4. Δείξτε ότι f(x)<2

και συμπεράνατε ότι $f^{\prime}$ είναι γνήσια αύξουσα στο R
5. Δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο $(-\infty,0]$ και κοίλη στο $[0,+\infty)$
6. Δείξτε ότι $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$ (Είναι γνωστό ότι μια μονότονη στο R συνάρτηση πάντα έχει όριο)
7. Δείξτε ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=2$ (Δείξτε πρώτα ότι ) $0<2-f(x)<e^{-x},\forall x>0$
8. Δείξτε ότι $f(R)=(-\infty,2)$
9. Δείξτε ότι $\displaystyle f^{-1}(x)=\int_{1}^{x}{\frac{e^{-u}}{2-u}du} ,\forall x\in (-\infty,2)$

#12

Ροδόλφε, συνάδελφοι καλημέρα! Νομίζω πως το κλειδί της άσκησης είναι να δείξουμε πως η f δεν λαμβάνει ως τιμή το 2.
Όλα τα υπόλοιπα που αναφέρει ο Ροδόλφος, ειλικρινά με....ταλαιπώρησαν (όμορφα) και υπάρχουν στο πρόχειρό μου. Μάλλον θα συνεχίσουν και σήμερα το πρωί!
Y.Γ Μόλις μου μπήκε η υποψία για ανάπτυγμα Taylor της συνάρτησης με x_0=2

(;).

Υ.Γ: Επεξεργασία Latex 22/03/2013

#13

Στο συνημμένο στέλνω την λύση μου
Ελπίζω να δούμε και άλλες

k-ser · #14

Ροδόλφε.
Στο δύσκολο σημείο της άσκησης: $f(x) \ne 2$
γράφεις:
Αν , αφού η f συνεχής και όχι σταθερή, θα υπάρχει διάστημα Δ = (a, ...) ή (.., a) ώστε $f(x) \ne 2$ για κάθε x ε Δ.
Αυτό με "δυσκολεύει"!
Για τη συνεχή και όχι σταθερή συνάρτηση:
$\displaystyle f(x)=xsin \frac{1}{x}$ με $x \ne0$ και f(0)=0
δεν υπάρχει διάστημα Δ=(0, ...) ή (...,0) ώστε $f(x) \ne0$ για κάθε x ε Δ.

Γράφω βιαστικά!
Ίσως να μην κατάλαβα κάτι. Θα το ξαναδώ.

#15

k-ser έγραψε:Ροδόλφε.
Στο δύσκολο σημείο της άσκησης: $f(x) \ne 2$
γράφεις:
Αν , αφού η f συνεχής και όχι σταθερή, θα υπάρχει διάστημα Δ = (a, ...) ή (.., a) ώστε $f(x) \ne 2$ για κάθε x ε Δ.
Αυτό με "δυσκολεύει"!
Για τη συνεχή και όχι σταθερή συνάρτηση:
$\displaystyle f(x)=xsin \frac{1}{x}$ με $x \ne0$ και f(0)=0
δεν υπάρχει διάστημα Δ=(0, ...) ή (...,0) ώστε $f(x) \ne0$ για κάθε x ε Δ.

Γράφω βιαστικά!
Ίσως να μην κατάλαβα κάτι. Θα το ξαναδώ.

Ναι αλλά η f ' που αναφέρεις δεν είναι συνεχής ίσως θα έπρεπε να πω οτι η f είναι απειρες φορές παραγωγίσιμη που το λεω στην αρχή

k-ser · #16

R BORIS έγραψε:Ναι αλλά η f ' που αναφέρεις δεν είναι συνεχής

Συγνώμη, που δεν καταλαβαίνω - δεν είμαι και ο πιο έξυπνος άνθρωπος, αλλά
πως εμπλέκεται στην απόδειξη η συνέχεια της f΄;

#17

Μάλλον δεν το εξηγώ καλά
Λοιπόν αφού f '(0)=e>0 , f ' συνεχής υπάρχει Δ : f γνήσια αύξουσα. Έστω α το ΠΡΩΤΟ απο τα χ που συναντάμε ώστε f(a)=2 Πριν το α όλα τα f(x) είναι διαφορετικά του 2 σφού το α είναι το πρώτο, ενώ το f(α)=2

#18

R BORIS έγραψε:Μάλλον δεν το εξηγώ καλά
Λοιπόν αφού f '(0)=e>0 , f ' συνεχής υπάρχει Δ : f γνήσια αύξουσα. Έστω α το ΠΡΩΤΟ απο τα χ που συναντάμε ώστε f(a)=2 Πριν το α όλα τα f(x) είναι διαφορετικά του 2 σφού το α είναι το πρώτο, ενώ το f(α)=2

Επικαλούμενος την συνέχεια των παραγώγων ήθελα να τονίσω ότι η f είναι "πολύ" συνεχής για να φύγει απότομα απο το 1 και να πάει στο 2 και πολύ "απρόθυμη" άμα πιάσει το 2 να το εγκαταλείψει
Ελπίζω να έγινα σαφής

k-ser · #19

Ροδόλφε,
να ζητήσω συγνώμη, μπορεί να κάνω λάθος, αλλά δε μ' αρέσει η προσέγγισή σου!

Αυτό που μ' άρεσε στην άσκηση.
Αποδεικνύεται επαγωγικά ότι: για κάθε θετικό ακέραιο n
$f^{(n)}(x)=e^{nf(x)} \cdot P_n (f(x))$ (*)
όπου πολυώνυμο με παράγοντα το (2-x).

Βέβαια από την (*) έχουμε ότι: αν υπάρχει α τέτοιο ώστε f(a)=2

τότε θα είναι: $f^{(n)}(a)=0$ για κάθε θετικό ακέραιο n.
Δεν γνωρίζω αν με το ανάπτυγμα Taylor - το ανέφερε κάποια στιγμή ο Χρήστος - και με δεδομένο ότι f(0)=1 αυτό οδηγεί σε άτοπο....

Έχω επίσης μια -όχι εύκολη - απόδειξη, χωρίς δεδομένο $f(x) \ne2$ ότι:
για κάθε x<0 ισχύει: f(x)<1 και για κάθε x με 0<x<1/e ισχύει: 1<f(x)<2 .
Βέβαια μια τέτοια απόδειξη δεν έχει κανένα ενδιαφέρον αν δεχθούμε ή δείξουμε ότι $f(x) \ne2$ .

mathxl · #20

Την άσκηση την πάλεψα και εγώ αρκετά (αφιέρωσα 4 ώρες χτες συνεχόμενες και άκαρπες ως προς το καίριο σημείο...) έχω βγάλει κάποια πράγματα (μία πιθανή γραφική, κυρτή μέχρι το 0, κοίλη μέχρι το κ και γνησίως αύξουσα μέχρι το κ από το κ και μετά σταθερή και ίση με 2... όπου κ >0 και μεγαλύτερο του 1/e)
Θα ασχοληθώ μάλλον το Σαββατοκύριακο με σκοπό να βγάλώ μία απλή λύση για το
f(x) διάφορο του 2

Ευρεση τύπου αντίστροφης

Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση