Εξίσωση

#1

Να λυθεί η εξίσωση $\tan^2(2x)+2\tan(2x)\tan(3x)=1$ .

#2

Aρχικά πρέπει

$\displaystyle{ \begin{array}{l} x \ne \frac{{\kappa \pi }}{2} + \frac{\pi }{4},\kappa \in Z \\ x \ne \frac{{\lambda \pi }}{3} + \frac{\pi }{6},\lambda \in Z \\ \end{array} }$

Έχω:

$\displaystyle{ 2\tan 2x\tan 3x = 1 - \tan ^2 2x }$

Τώρα για

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \tan ^2 2x \ne 1 \Leftrightarrow \tan 2x \ne \pm 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{{\kappa \pi }}{2} \pm \frac{\pi }{8},\kappa \in Z \\ \wedge \\ \tan 3x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{\lambda \pi }}{3},\lambda \in Z \\ \end{array} }$

Προκύπτει:

$\displaystyle{ \frac{{2\tan 2x}}{{1 - \tan ^2 {2x}}} = \cot 3x \Leftrightarrow \tan (4x) = \tan (\frac{\pi }{2} - 3x) \Leftrightarrow 4x = \nu \pi + \frac{\pi }{2} - 3x \Leftrightarrow ...x = \frac{{\nu \pi }}{7} + \frac{\pi }{{14}},\nu \in Z }$

λύση δεκτή αφού επαληθεύονται όλοι οι περιορισμοί.

Υ.Γ Διόρθωσα μια αβλεψία.. της πληκτρολόγησης.

mathxl · #3

Μία άλλη λύση , αφού γράψουμε τους περιορισμούς που έγραψε ο Χρήστος
$\displaystyle{{\tan ^2}(2x) + 2\tan (2x)\tan (3x) = 1 \Rightarrow }$

$\displaystyle{2\tan (2x)\tan (3x) = 1 - {\tan ^2}\left( {2x} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{2\eta \mu 2x\eta \mu 3x}}{{\sigma \upsilon \nu 2x\sigma \upsilon \nu 3x}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu 4x}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}2x}} \Rightarrow \frac{{2\eta \mu 2x\eta \mu 3x}}{{\sigma \upsilon \nu 3x}} = \frac{{\sigma \upsilon \nu 4x}}{{\sigma \upsilon \nu 2x}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{2\eta \mu 2x\sigma \upsilon \nu 2x\eta \mu 3x = \sigma \upsilon \nu 3x\sigma \upsilon \nu 4x \Rightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 3x\sigma \upsilon \nu 4x - \eta \mu 4x\eta \mu 3x = 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {7x} \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{{k\pi }}{7} + \frac{\pi }{{14}}k \in Z}$

που είναι δεκτές

makisman · #4

και εδω , viewtopic.php?f=21&t=6451

#5

Ωραία, makisman!

#6

Ευχαριστώ για τις όμορφες λύσεις.

Ένα λεπτό σημείο (για το οποίο την έγραψα):
Από την $\displaystyle x = \frac{{\nu \pi }}{7} + \frac{\pi }{{14}}$ για $\displaystyle \nu=3$ έχουμε $\displaystyle x_p=\frac \pi 2$ που όμως αντίκειται στην $\displaystyle x \ne \frac{{\kappa \pi }}{3} + \frac{\pi }{6}$ για $\kappa=1$ ...

Οπότε, επιπλέον $\nu \ne 7 \alpha +3, \ \ \alpha \in \mathbb{Z}$ .

mathxl · #7

Καλό Θανάση , μου ξέφυγε

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση