Θεμα για επανάληψη

#1

Η κουβέντα που ανοίξαμε στο
viewtopic.php?f=53&t=502
έγινε η ευκαιρία να φτιάξω το παρακάτω θέμα
ΘΕΜΑ

1. Τι σημαίνουν επακριβώς τα σύμβολα $\frac{dy}{dx},\frac{dx}{dy}$ ? Δείξτε ότι όταν $\frac{dy}{dx}\neq 0$ τότε ισχύει $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$
2. Έστω $y^{\prime}(x)=\frac{1}{x+y^2(x)}$ με $x\geq 1,y(1)=0$ τότε δείξτε ότι η συνάρτηση y είναι γνήσια αύξουσα και κοίλη
3. Ισχύει $0\leq y(x)\leq x-1$
4. Θεωρείστε ότι το x είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση του y ( x=x(y) ) και το y ως ανεξάρτητη μεταβλητή ( y(x)=y ) και με την βοήθεια του 1ου ερωτήματος δείξτε ότι $x=3e^{y(x)}-(2+y(x)+y^2(x))$
5. Να συμπεράνετε ότι y(x)>lnx-ln3

και να βρείτε το σύνολο τιμών της y
6. Βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση
7. Δείξτε ότι η y δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$
8. Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $y(x) , y^{-1}(x)$ δεν τέμνονται

#2

Συγνώμη για την καθυστέρηση. Την είχα ξεχάσει. Η λυση είναι στο συνημμένο

#3

Ροδόλφε, γράφεις στις απαντήσεις:

1. 1. Eίναι η παράγωγος της συνάρτησης y(x)

ως προς x και αντίστοιχα της x(y)

ως προς

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{y - {y_0}}} {{x - {x_0}}} = k \in {R^*} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1} {{\frac{{y - {y_0}}} {{x - {x_0}}}}} = 1/k \in {R^*} \Rightarrow^{|||} \mathop {\lim }\limits_{y \to {y_0}} \frac{{x - {x_0}}} {{y - {y_0}}} = 1/k \in {R^*}$
(Κοντά στο x_0

έχει νόημα να θεωρήσουμε την x(y)

διότι η

είναι 1-1 αφού $y \prime \ne 0$ )

Το συμπέρασμα αυτό (στο σημείο |||

) δεν είναι όμως άμεσο και θεωρώ ότι είναι πολύ μακριά από την σχολική πραγματικότητα. Ο λόγος: Πουθενά από το σχολικό βιβλίο δεν προκύπτει ότι όταν το

τείνει στο y_0

τότε θα τείνει το

στο

. Πρόκειται ουσιωδώς για την συνέχεια τηα αντίστροφης συνάρτησης. Το είχαμε συζητήσει και παλαιότερα το θέμα και μάλιστα εξαντλητικά. Βέβαια αυτό χρησιμοποιείται σιωπηρά σε μερικές αντικαταστάσεις στα ολοκληρώματα (όπως στην τελευταία εφαρμογή του σχολικού στα εμβαδά-εφαρμογή 3 σελίδα 348-ίσως και αυτός να είναι ο λόγος που έχει εξαιρεθεί από την διδασκαλία). Ωστόσο δεν παύει να είναι έξω από το σχολικό πεδίο.
Με την ευκαιρία θα ήθελα να πώ άλλη μία φορά πόσο άσχημο είναι που δεν κάνουμε στους μαθητές μας απειροστικό λογισμό της προκοπής αντί γι αυτό το εξάμβλωμα που έχει προκύψει από τις αλλεπάλληλες αφαιρέσεις, ελαφρύνσεις, εκπτώσεις, μειώσεις. Φθάσαμε να συμπεριφερόμαστε σαν δικηγόροι αναζητώντας το σύννομο και όχι το μαθηματικά ορθό.
Μαυρογιάννης

#4

έχεις δίκιο Νίκο (άσε που υπάρχει και μια υποψία Darboux στο 1-1)

Θεμα για επανάληψη

Θεμα για επανάληψη

Re: Θεμα για επανάληψη

Re: Θεμα για επανάληψη

Re: Θεμα για επανάληψη

Μέλη σε σύνδεση