Όριο

mathxl · #1

Έστω η συνάρτηση f:(0,2)->(0,+oo) η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ισχύει f(1)=4=f'(1)
Να υπολογίσετε το όριο
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {\left( {\frac{{f\left( {1 + h} \right)}}{{f\left( {1 + 3h} \right)}}} \right)^{\frac{1}{h}}}}$

rexes13 · #2

Χμμμ..θα γίνει κάπως έτσι; $\left( \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)}{f(1 +3h)}\right)^\frac{1}{h} \Leftrightarrow \left( \frac{\lim_{h \to 0}f(1 + h)}^{\lim_{h \to 0}f(1 + 3h)}\right)^\frac{1}{h}$
Τώρα δεν ξέρω τι να κάνω...μέχρι εκεί έχω αυτοδιδαχθεί...!

mathxl · #3

Το όριο ενός πηλίκου σπάει στους όρους του (αριθμητή παρονομαστή) εφόσον τα όρια αυτά υπάρχουν και του παρονομαστή δεν είναι μηδέν. Μπορείς να το δείξεις;

MoV · #4

σε μία περιοχή του 1 .
$\displaystyle { ln [\lim_{h \to 0} {(\frac {f(1+h)}{f(1+3h)})^{\frac{1}{h}}] = \lim_{h \to 0} [\frac{lnf(1+h)-lnf(1)}{h}-3\frac{lnf(1+3h)-lnf(1)}{3h} ] = -2\frac{f'(1)}{f(1)}=-2}$
Άρα $\displaystyle {\lim_{h \to 0} {(\frac {f(1+h)}{f(1+3h)})^{\frac{1}{h}} = e^{-2}}$

rexes13 · #5

mathxl έγραψε:Το όριο ενός πηλίκου σπάει στους όρους του (αριθμητή παρονομαστή) εφόσον τα όρια αυτά υπάρχουν και του παρονομαστή δεν είναι μηδέν. Μπορείς να το δείξεις;

Όταν το όριο του h τείνει στο μηδέν ο παρονομαστής κάνει 4 όπως δίνεται από την άσκηση..τώρα για το άλλο δεν ξέρω τι εννοείς...επαναλαμβάνω δεν ξέρω ακόμα όρια κατεύθυνσης..μόνο ότι έχω διαβάσει μόνος μου...

chr · #6

$\displaystyle { \ln\left [{\lim_{h \to 0} {\left({\frac {f(1+h)}{f(1+3h)}}\right)^{\frac{1}{h}}}\right] = \lim_{h \to 0} \left[{\frac{\ln f(1+h)-\ln f(1)}{h}-3\frac{\ln f(1+3h)-\ln f(1)}{3h}}\right ]$

Η ιδιοτητα αυτη δεν υπαρχει στο σχολικο βιβλιο

#7

chr έγραψε: $\displaystyle { ln [\lim_{h \to 0} {(\frac {f(1+h)}{f(1+3h)})^{\frac{1}{h}}] = \lim_{h \to 0} [\frac{lnf(1+h)-lnf(1)}{h}-3\frac{lnf(1+3h)-lnf(1)}{3h} ]$

Η ιδιοτητα αυτη δεν υπαρχει στο σχολικο βιβλιο

MoV · #8

chr έγραψε: $\displaystyle { ln [\lim_{h \to 0} {(\frac {f(1+h)}{f(1+3h)})^{\frac{1}{h}}] = \lim_{h \to 0} [\frac{lnf(1+h)-lnf(1)}{h}-3\frac{lnf(1+3h)-lnf(1)}{3h} ]$

Η ιδιοτητα αυτη δεν υπαρχει στο σχολικο βιβλιο

Καλή απορία

.

Η

είναι θετική σε μία περιοχή του 1 .
Έστω $g(h)=\left \{ \begin{array}{cl} (\frac{f(1+h)}{f(1+3h)})^{\frac{1}{h}},& 0<|h|<\delta \\ a=e^{-2},& h=0 \end{array} \right$
Έστω ακόμα $q(h)=ln[g(h)] = \left \{ \begin{array}{cl} ln[(\frac{f(1+h)}{f(1+3h)})^{\frac{1}{h}}],& 0<|h|<\delta \\ lna=-2,& h=0 \end{array} \right$

Έδειξα ότι $\displaystyle{ \lim_{h \to 0}q(h)= \lim_{h \to 0}ln[g(h)]=lna=-2 }$ .
Συνεπώς η q(h)

είναι συνεχής στο

.
Ακόμα η e^h

είναι συνεχής στο q(0)=lna

.
Άρα και η $e^{q(h)}=g(h)$ είναι συνεχής στο

δηλαδή $\displaystyle {\lim_{h \to 0}g(h)=g(0)=a}$ .
Συνεπώς $\displaystyle {ln[\lim_{h \to 0}g(h)]=lna=\lim_{h \to 0}ln[g(h)]}$ .

kwstas12345 · #9

Μια άλλη λύση με De Hospital:

$\displaystyle\left(\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+ \right)} \right)^{\frac{1}{h}}=e^{\frac{1}{h}ln\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+ \right)}}.$

Θέτω: $u=\frac{1}{h}\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+ \right)}$

Όμως: $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0 }u=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h}\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+ \right)}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ln\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+1 \right)}}{h}=$

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( ln\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+1 \right)}\right)'}{\left(h \right)'}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(3h+1 \right)}{f\left(h+1 \right)}\frac{f'\left(h+1 \right)f\left(3h+1 \right)-3f'\left(3h+1 \right)f\left(h+1 \right)}{f^{2}\left(3h+1 \right)}=\lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{f'\left(h+1 \right)}{f\left(h+1 \right)}-3\frac{f'\left(3h+1 \right)}{f\left(3h+1 \right)} \right)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f'\left(h+1 \right)}{f\left(h+1 \right)}-\lim_{h\rightarrow 0}3\frac{f'\left(3h+1 \right)}{f\left(3h+1 \right)}=1-3=-2$

Tελικά:

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}e^{\frac{1}{h}ln\frac{f\left(h+1 \right)}{f\left(3h+ \right)}}=\lim_{u\rightarrow -2}e^{u}=e^{-2}$

Φιλικα,
Κώστας

rexes13 · #10

Τι ιδιότητα είναι αυτή με τους λογαρίθμους;

MoV · #11

rexes13 έγραψε:Τι ιδιότητα είναι αυτή με τους λογαρίθμους;

Ουσιαστικά εφαρμόζω το θεώρημα που λέει : Αν η

είναι συνεχής στο

και η

είναι συνεχής στο g(a)

, τότε η $f \circ g$ είναι συνεχής στο

.

rexes13 έγραψε:Χμμμ..θα γίνει κάπως έτσι; $\left( \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)}{f(1 +3h)}\right)^\frac{1}{h} \Leftrightarrow \left( \frac{\lim_{h \to 0}f(1 + h)}^{\lim_{h \to 0}f(1 + 3h)}\right)^\frac{1}{h}$
Τώρα δεν ξέρω τι να κάνω...μέχρι εκεί έχω αυτοδιδαχθεί...!

Το ότι βγάζεις το $\frac{1}{h}$ έξω από το όριο είναι σημαντικό λάθος .

rexes13 · #12

MoV έγραψε:
rexes13 έγραψε:Τι ιδιότητα είναι αυτή με τους λογαρίθμους;
Ουσιαστικά εφαρμόζω το θεώρημα που λέει : Αν η είναι συνεχής στο και η είναι συνεχής στο , τότε η $f \circ g$ είναι συνεχής στο .
rexes13 έγραψε:Χμμμ..θα γίνει κάπως έτσι; $\left( \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)}{f(1 +3h)}\right)^\frac{1}{h} \Leftrightarrow \left( \frac{\lim_{h \to 0}f(1 + h)}^{\lim_{h \to 0}f(1 + 3h)}\right)^\frac{1}{h}$
Τώρα δεν ξέρω τι να κάνω...μέχρι εκεί έχω αυτοδιδαχθεί...!
Το ότι βγάζεις το $\frac{1}{h}$ έξω από το όριο είναι σημαντικό λάθος .

Δεν υπάρχει ιδιότητα που το επιτρέπει αυτό;

mathxl · #13

Ναι δεν υπάρχει τέτοια ιδιότητα. Δεν πρόσεξα ότι άφησες τον εκθέτη έξω από το όριο στην προηγούμενη δημοσίευση μου, ευτυχώς το είδε ο φίλος MoV.
Το 1/h πρέπει να είναι εκθέτης του αριθμητή και του παρονομαστή και έπειτα να σπάσει το όριο σε αριθμητή και παρονομαστή εφόσον δείξεις ότι υπάρχουν τα όρια αυτά και του παρονομαστή είναι διάφορο του 0.

Μια σχολική έκδοση των ζητούμενων της άσκησης είναι η εξής

ι. Να δείξετε ότι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{lnf(1 + 3h) - lnf(1)}}{h} = 3}$
ιι. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{lnf(1 + h) - lnf(1 + 3h)}}{h}}$
ιιι. να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {\left( {\frac{{f\left( {h + 1} \right)}}{{f\left( {3h + 1} \right)}}} \right)^{\frac{1}{h}}}}$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση