εξίσωση

vanalex · #1

Καλησπέρα σε όλους!

Να λύσετε την εξίσωση: $e^{-x^{2}}-e^{-x}=lnx$
Την ξεκινώ:

$e^{-x^{2}}-e^{-x}=ln\left(\frac{-x^{2}}{-x} \right)\Leftrightarrow e^{-x^{2}}-e^{-x}=ln\left(-x^{2} \right)-ln\left(-x \right)\Leftrightarrow ln\left(-x^{2} \right)-e^{-x^{2}}=ln\left(-x \right)-e^{-x}$

Άρα ορίζω τη συνάρτηση $f(x)=lnx-e^{x}$ την οποία αν δείξω ότι είναι γνησίως μονότονη θα είναι και 1-1 οπότε θα καταλήξω στην λύση της εξίσωσης: $f(-x^{2})=f(-x)$ απ' όπου προκύπτει x = 1 (x > 0).

Άρα $f'(x)=\frac{1}{x}-e^{x}=\frac{1-xe^{x}}{x}$ . Σ' αυτό το σημείο ορίζω την $g(x)=1-xe^{x}$ για να την εξετάσω ως προς τη μονοτονία και να βρω το πρόσημό της. Η παράγωγος αυτής είναι αρνητική για κάθε x > 0 αφού:

$g'(x)=-e^{x}-xe^{x}=-e^{x}\left(1+x \right)$ άρα η g γνησίως φθίνουσα για κάθε x > 0. Σ' αυτό το σημείο κολλάω αφού δεν μπορώ να βρω σημείο μηδενισμού της g για να βρω πρόσημο...Μήπως η άσκηση είναι απλή και την έκανα πολύπλοκη μόνος μου;

Φυσικά θα εκτιμούσα οποιαδήποτε άλλη σκέψη και ιδέα..Ευχαριστώ πολύ!

Αλέξης

mathxl · #2

Δεν μπορούμε να γράψουμε $\displaystyle{\ln \left( { - {x^2}} \right)}$ (φεύγουμε από το R)

Θα την έλυνα κάπως έτσι
Η χ=1 είναι προφανής ρίζα

Για χ > 1
$\displaystyle{x > 1 \Leftrightarrow {x^2} > x \Leftrightarrow x - {x^2} < 0 \Leftrightarrow {e^{x - {x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {e^{x - {x^2}}} - 1 < 0}$
και $\displaystyle{{e^x}\ln x > 0}$
άρα $\displaystyle{{e^{x - {x^2}}} - 1 < {e^x}\ln x \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}} - {e^{ - x}} < \ln x}$

Όμοια για 0<χ<1
το πρώτο μέλος είναι θετικό και το δεύτερο αρνητικό

Μοναδική λύση η χ = 1

vanalex · #3

Βασίλη έχεις απόλυτο δίκιο, μου ξέφυγε..Σ' ευχαριστώ για την απάντηση!

mathxl · #4

Αλέξη έχω κάνει πολύ χειρότερα λάθη από εσένα, δεν χρειάζεται το σμάιλι

Αν κλέψω την ιδέα σου, μπορούμε να κάνουμε κα το εξής
$\displaystyle{{e^{ - {x^2}}} - {e^{ - x}} = \ln \frac{{{x^2}}}{x} \Leftrightarrow {e^{ - {x^2}}} - \ln {x^2} = {e^{ - x}} - \ln x}$
Ορίζουμε την $\displaystyle{f\left( x \right) = {e^{ - x}} - \ln x,x > 0}$
με παράγωγο $\displaystyle{f'\left( x \right) = - {e^{ - x}} - \frac{1}{x} < 0}$
άρα γνησίως φθίνουσα οπότε και 1-1
Η εξίσωση μας ισοδύναμα γράφεται
$\displaystyle{f\left( {{x^2}} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow x = 1}$

vanalex · #5

Άψογος..

Σ' ευχαριστώ πολύ!

εξίσωση

εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση