απορίες στην παραγώγιση

qwerty · #1

1)Ας πάρουμε για παράδειγμα την συνάρτηση f(x)=x^2

με πεδίο ορισμου το R.Tότε η παράγωγος είναι

αν όμως το πεδίο ορισμού είναι καποιο άλλο π.χ. το Q τοτε ισχύει το ιδιο? και γενικοτερα σε ποιούς περιορισμούς της f(x)=x^2

η f είναι παραγωγίσημη και η παράγωγος είναι

?

2)πως βρίσκουμε την παράγωγο της h(x)=x^x

?

rexes13 · #2

Λάθος απάντηση!

A.Spyridakis · #3

rexes13 έγραψε:Για το 2ο έχεις:
$h'(x) = x \bullet x^{x-1}$

OMG!

Gerasimos92 · #4

Από ότι θυμάμαι

η h(x)=x^x

γίνεται $h(x)=e^{xlnx}$

και γίνεται
$h'(x)=(e^{xlnx})' \Leftrightarrow h'(x)=e^{xlnx}*(xlnx)' \Leftrightarrow h'(x)=e^{xlnx}*(lnx+1)\Leftrightarrow h'(x)=x^x*(lnx+1)$

Όντως κύριε Σπυριδάκη και εγώ OMG! σκέφτηκα, αλλα λάθη είναι και συμβαίνουνε!

tkmath · #5

η h(x)= x^x έχει πεδίο ορισμού το (0,+άπειρο ), γιατί η βάση του εκθετικού πρέπει να είναι θετική για να οριστεί η συνάρτηση, άρα δεν αλλάζει το πεδίο ορισμού της. Eκτός και αν το πεδίο ορισμού της h είναι το Ζ- N οπότε....;

Gerasimos92 · #6

Θα μπορούσα να κάνω τον σπαστικό και να πω "Για x=-1

?" αλλά δεν θα το κάνω...

Πέρνουμε ως πεδίο ορισμού το (0,+άπειρο).

( viewtopic.php?f=6&t=6291&view=next )

qwerty · #7

οκ για το 2) θεωρήστε το πεδίο οροσμού της συνάρτησης είναι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί εκτός του 1.Πως βρίσκουμε τότε την παράγωγο

Για το 1) έχει κανείς να πει κάτι? Με ενδιαφέρει κυρίως η περίπτωση οπου το πεδίο ορισμού είναι το Q

#8

Για το 1) Κατ΄αρχάς όλη η συζήτηση για την παράγωγο στο $\mathbb{Q}$ είναι εκτός της ύλης του σχολικού το οποίο απαιτεί η όλη επεξεργασία να γίνεται στο $\mathbb{R}$ (βλ. και το 2) ). Εν τούτοις είναι δυνατόν να ορίσουμε την έννοια του ορίου, της συνεχείας και της παραγώγου και στο $\mathbb{Q}$ όπως ακριβώς κάνουμε στο $\mathbb{R}$ . Δηλαδή να δουλεύουμε με συναρτήσεις από το $\mathbb{Q}$ στο $\mathbb{R}$ ή και από το $\mathbb{Q}$ στο $\mathbb{Q}$ . "Μικράινοντας" την αριθμητική όπου δουλεύουμε με άλλα λόγια θεωρώντας συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{K}$ όπου το $\mathbb{K}$ είναι το $\mathbb{Q}$ ή το $\mathbb{R}$ κάποια πράγματα παραμένουν και κάποια χάνονται. Σε κάθε περίπτωση όμως οι οι παράγωγοι των πολυωνυμικών ή ακόμη και των ρητών συναρτήσεων θα μείνουν ως έχουν. Φυσικά και $\left( x^{2}\right) ^{\prime }=2x$ .
Μιλώντας πιο γενικά μπορούμε να έχουμε μια θεωρία ορίων-συνεχείας-παραγώγισης για συναρτήσεις $f:\mathbb{F}\rightarrow \mathbb{F}$ όπου το $\mathbb{F}$ είνα ένα διατεταγμένο σώμα (έννοια που συζητήσαμε εκτενώς στο viewtopic.php?f=51&p=17869#p17869). Οι συνηθισμένες ιδιότητες των παραγώγων δηλαδή οι λογιστικοί κανόνες αποδεικνύεται ότι εξακολουθούν να ισχύουν. Αλλά πολλά βασικά θεωρήματα που έχουν κάποιο "βάθος" παύουν να έχουν γενικά ισχύ. Μεταξύ αυτών τα θεωρήματα Bolzano, Weierstrass (μεγίστου-ελαχίστου), Rolle, Lagrange (μέσης τιμής). Αποδεικνύεται μάλιστα ότι τα θεωρήματα αυτά διατηρούν την ισχύ τους μόνο αν ουσιωδώς είναι $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ (η μιλώντας με μεγαλύτερη ακρίβεια τα $\mathbb{F}$ , $\mathbb{R}$ να είναι ισόμορφα διατεταγμένα σώματα).
Για το 2) Μιλώντας με όρους του σχολικού βιβλίου της Γ' Λυκείου όπου το πεδίο ορισμού (το θέμα έχει πολυσυζητηθεί στο mathematica: viewtopic.php?f=6&p=35500#p35500 και viewtopic.php?f=52&p=20448#p20448) θεωρείται ότι είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων (: τα μονοσύνολα δεν θεωρούνται διαστήματα) το πεδίο ορισμού της $x^{x}$ είναι το $\left( 0,+\infty \right)$ η δε παράγωγος της βρίσκεται ακριβώς με τον τρόπο που ανέφερε ο Γεράσιμος πιο πάνω.

Μαυρογιάννης

qwerty · #9

σας ευχαριστώ ολους για την βοήθεια,να ρωτήσω όμως κάτι τελευταίο:
η x^2

είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο

ανν καθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και σημείο συσόρευσης?

#10

qwerty έγραψε:σας ευχαριστώ ολους για την βοήθεια,να ρωτήσω όμως κάτι τελευταίο:
η είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο ανν καθε σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και σημείο συσσώρευσης?

Παρά το γεγονός ότι δεν καταλαβαίνω γιατί θα μας ενδιέφερε να παραγωγίζουμε συναρτήσεις σε σημεία που δεν είναι σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού τους (μάλιστα δεν καταλαβαίνω γιατί έχει ενδιαφέρον ακόμη και η εύρεση ορίου σε τέτοια σημεία) γράφω την γνώμη μου.
Σε αντίθεση με το όριο που θα μπορούσε να ορισθεί και σε μεμονωμένα σημεία η παράγωγος δε μπορεί.
Αν το σημείο $x_{0}$ δεν είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίο ορισμού της $f\left( x\right)$ θα είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως θα υπάρχει κάποιο διάστημα $\left( x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \right)$ το οποίο δεν θα περιέχει κανένα σημείο του πεδίου ορισμού εκτός του $x_{0}$ . Μα τότε ο λόγος μεταβολής $\frac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}$ δεν ορίζεται σε κανένα σημείο του διαστήματος $\left( x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta \right)$ και επομένως δεν μπορούμε να συζητάμε για το όριο του.
Μαυρογιάννης

rexes13 · #11

Ωχ...σρυ..λάθος...μάλλον κάτι δεν πρόσεξα παιδιά...!

απορίες στην παραγώγιση

απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Re: απορίες στην παραγώγιση

Μέλη σε σύνδεση