Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

#1

Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{\displaystyle f(x) \equiv \left( {1 + ax} \right)\left( {1 + a^2 x} \right)...\left( {1 + a^\nu x} \right) }$ , όπου $\displaystyle{\displaystyle \nu \in \mathbb{N},a \in \mathbb{R} }$ , με $\displaystyle{\displaystyle |a| \ne 1 }$ .
1) Ποιά σχέση υπάρχει μεταξύ των πολυωνύμων f(αx) και f(x) ;
2)Θέτουμε : $\displaystyle{\displaystyle f(x) \equiv A_0 + A_1 x + A_2 x^2 + .... + A_\nu x^\nu }$ .
Να βρείτε τους συντελεστές : $\displaystyle{\displaystyle A_0 ,A_1 ,A_2 ,....A_\nu }$ , συναρτήσει του α και του ν.
Άσκηση απο το βιβλίο του Α.Κυριακόπουλου ''Γενικές ασκήσεις ΑΛΓΕΒΡΑΣ'', Σειρά Α

#2

Είμαι σίγουρος ότι θα υπάρχει κάτι πιό εύκολο αλλά ένιγουέι...
Θεωρούμε ότι $a\neq0$ , διότι για a=0

έχουμε την τετριμμένη περίπτωση $f(x)\equiv1$ .
Για $a\neq0$ λοιπόν έχουμε:
$f(x)=(ax+1)(a^{2}x+1)\ldots(a^{n}x+1)=a a^{2}\ldots a^{n}(x+\frac{1}{a})(x+\frac{1}{a^{2}})\ldots(x+\frac{1}{a^{n}})=\\=a a^{2}\ldots a^{n}(x^{n}+(\displaystyle\sum_{1\leq i_{1}\leq n}\frac{1}{a^{i_{1}}})x^{n-1}+(\sum_{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\frac{1}{a^{i_{1}}a^{i_{2}}})x^{n-2}+\ldots+\frac{1}{a\cdot \ldots \cdot a^{n}})=\\=(\displaystyle\prod_{1\leq j \leq n}a^{j})x^{n}+(\sum_{1\leq i_{1} \leq n}\prod_{j\neq i_{1}}a^{j})x^{n-1}+(\sum_{1\leq i_{1} < i_{2} \leq n}\prod_{j\neq i_{1},i_{2}}a^{j})x^{n-2}+\ldots+\\+(\sum_{1\leq j \leq n}a^{j})x+1$
Άρα $A_{n}=\displaystyle\prod_{1\leq j \leq n}a^{j},\,A_{n-1}=\sum_{1\leq i_{1} \leq n}\prod_{j\neq i_{1}}a^{j},\,\ldots,\,A_{1}=\sum_{1\leq j \leq n}a^{j},\,A_{0}=1$
Ακόμα $f(ax)=f(x)\displaystyle\frac{a^{n+1}x+1}{ax+1}$ .

#3

καλημέρα,

$f(x)=(1+ax)(1+a^2x)\dots(1+a^{\nu}x)$

$f(ax)=(1+a^2x)(1+a^3x)\dots(1+a^{\nu+1}x)$

$(1+ax)f(ax)=\underbrace{(1+ax)(1+a^2x)(1+a^3x)\dots(1+a^{\nu}x)}_{\displaystyle f(x)}(1+a^{\nu+1}x)$

$(1+ax)f(ax)=f(x)(1+a^{\nu+1}x)$

^^^^^
και συμπληρώνω
$A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$ , $\nu\geq 1$

#4

Να συμπληρώσω τη λύση της Φωτεινής (καλημέρα), με $\displaystyle{\displaystyle A_0 = 1 }$ , αφού f(0)=1.

#5

chris_gatos έγραψε:Να συμπληρώσω τη λύση της Φωτεινής (καλημέρα)

μπράβο βρε Χρήστο,γιατί αυτή η Φωτεινή μισές δουλειές κάνει !
καλημέρα

#6

joulia1961 έγραψε:και συμπληρώνω
$A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$ , $\nu\geq 1$

Εδώ πώς καταλήγουμε..; Δεν βλέπω που έχω κάνει λάθος και η λύση μου με τη λύση της Φωτεινής νομίζω δεν συμφωνεί..
Εγώ έχω βγάλει για παράδειγμα ότι $A_{1}=a+a^{2}+\ldots+a^{n}$ ενώ η Φωτεινή $A_{1}=a$ .
Οπότε
$a=a+a^{2}+\ldots+a^{n}\Leftrightarrow a^{2}(1+a+\ldots+a^{n-2})=0\Leftrightarrow a=0\,\,\,\,\eta\\ \,\,\,\, 1+a+\ldots+a^{n-2}=0\stackrel{a\in\mathbb{R},|a|\neq1}{\Leftrightarrow}a=0$
Κάποια χείρα βοηθείας...;

#7

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Εδώ πώς καταλήγουμε..; ....

Κάποια χείρα βοηθείας...;

Δεν έκανα τις πράξεις, αλλά μου φαίνεται σωστό αυτό που γράφει η Φωτεινή.
Πρόκειται για σύγκριση του συντελεστή του $x^{\nu}$ στα δύο μέλη.

Προσοχή, όμως: Η μεν Φωτεινή γράφει τον βαθμό του πολυωνύμου ως ν ενώ
ο Τάσος ως n. Εκεί εντοπίζω το πρόβλημα της (φαινομενικής) διαφοράς των δύο τύπων.

Τάσο: ήσουν μέχρι πρόσφατα στο Μαθηματικό Κρήτης;
Θερμά χαιρετίσματα.

Φιλικά,

Μιχάλης

#8

Αν όμως τα $A_{\nu},\,A_{\nu-1}$ στη σχέση $A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$ συμβολίζουν τους ζητούμενους συντελεστές του f(x)

, η $A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$ , δεν είναι μια αναδρομική σχέση που τους καθορίζει; Αν ναι, τότε κάτι συνεχίζει να μη μου πάει καλά..

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τάσο: ήσουν μέχρι πρόσφατα στο Μαθηματικό Κρήτης;
Θερμά χαιρετίσματα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Κύριε Λάμπρου ήμουν στο μαθηματικό του Ηρακλείου μέχρι το 2007. Είχα επιβλέποντα της μεταπτυχιακής εργασίας μου τον κύριο Τζανάκη. (Ίσως τωρα να με θυμηθήκατε). (Ακόμα είμαι στο Ηράκλειο

)
Θερμούς χαιρετισμούς και από εμένα.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πρόκειται για σύγκριση του συντελεστή του $x^{\nu}$ στα δύο μέλη

ακριβώς αυτό !

μετά από πράξεις....για τους συντελεστές έχεις

του x^1

---> $A_1 \,a+A_0\, a=A_1+A_0\, a^{\nu+1}$
του x^2

---> $A_2 \,a^2+A_1\, a^2=A_2+A_1 \,a^{\nu+1}$
.
.
.
του $x^{\nu}$ ---> $A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$

#10

joulia1961 έγραψε: ακριβώς αυτό !

μετά από πράξεις....για τους συντελεστές έχεις

του ---> $A_1 \,a+A_0\, a=A_1+A_0\, a^{\nu+1}$
του ---> $A_2 \,a^2+A_1\, a^2=A_2+A_1 \,a^{\nu+1}$
.
.
.
του $x^{\nu}$ ---> $A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$

Τώρα ξεκαθα-ρύζι η κατάσταση...

Έχω την εντύπωση πως αντί για το :

joulia1961 έγραψε: και συμπληρώνω
$A_{\nu}\,(a^{\nu}-1)=A_{\nu-1}\,a^{\nu}\,(a-1)$ , $\nu\geq 1$

,
που δίνει την εντύπωση ότι είναι μια αναδρομική σχέση υπολογισμού των $A_{0},\ldots,A_{\nu}$ ως προς $\underline{\nu}$
θα ήταν ορθότερο να γράψει κανείς $A_{k}(a^{k}-1)=A_{k-1}a^{k}(a^{\nu-k+1}-1)\,\,\,\,\,\,k=1,\ldots,\nu$ , που είναι μια αναδρομική σχέση υπολογισμού των $A_{0},\ldots,A_{\nu}$ ως προς $\underline{k}$ (και φαίνεται και ότι συμφωνεί και με τη δική μου λύση η οποία παρότι ολίγον $\displaystyle\sum\displaystyle\prod$ αστική τελικά είχε λιγότερες πράξεις..

#11

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Τώρα ξεκαθα-ρύζι η κατάσταση...
Έχω την εντύπωση πως αντί για το : ..............

θα ήταν ορθότερο να γράψει κανείς ............
και φαίνεται και ότι συμφωνεί και με τη δική μου λύση η οποία παρότι ολίγον $\displaystyle\sum\displaystyle\prod$ αστική τελικά είχε λιγότερες πράξεις..

μπράβο σου !

#12

...στώ...!

Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Re: Ένα πολυώνυμο απο τον Δάσκαλο.(Νο 2)

Μέλη σε σύνδεση