Εξίσωση

S.E.Louridas · #1

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών η εξίσωση:
$x + \sqrt {x^2 - 5x} + \sqrt {x - 5} + \sqrt x = 26,5.$

S.E.Louridas

Dreamkiller · #2

Με brute force θέτουμε x=a^2

και

και λύνουμε το σύστημα 2a^2+2ab+2a+2b=53

και

. Τελικά (wolframalpha) $a=\frac{41}{12}$ .

kwstas12345 · #3

Καταρχήν πρέπει $\displaystyle x\left(x-5 \right)\geq 0,x\geq 0,x-5\geq 0\Rightarrow x> 5$ .(εύκολα βλέπουμε πως το 5 δεν είναι λύση)

Θεωρώ την συνάρτηση: $\displaystyle f\left(x \right)=x+\sqrt{x^{2}-5x}+\sqrt{x-5}+\sqrt{x}-26,5,x> 5$

Eίναι: $\displaystyle \frac{df\left(x \right)}{dx}=1+\frac{2x-5}{2\sqrt{x^{2}-5}}+\frac{1}{2\sqrt{x-5}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}>0,x> 5$

Eπομένως άν έχει κάποια ρίζα τότε αυτή είναι μοναδική αφού η

είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1

.

Με λίγη φαντασία η λύση $\displaystyle x=\frac{1681}{144}$ είναι και η μοναδική λύση της εξίσωσης.

Φιλικά,
Κώστας

S.E.Louridas · #4

Ναι Κώστα αυτή είναι η τιμή του x που επαληθεύει την εξίσωση, αφού η εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα: $\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \geqslant 5} \\ {\left( {\sqrt {x - 5} + \sqrt x } \right)^2 + 2\left( {\sqrt {x - 5} + \sqrt x } \right) - 48 = 0.} \\ \end{array} } \right.$

S.E.Louridas

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση