Γεωμετρία - I, G, Ng, συνευθειακά και GNg = 2GI.

#1

Σε κάθε τρίγωνο αποδείξτε ότι το έγκεντρο το βαρύκεντρο και το σημείο Nagel $N_{g}$ , ανήκουν στην ίδια ευθεία και ότι $GN_{g} = 2GI$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το Σημείο Nagel $N_{g}$ ενός τριγώνου, είναι το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι ευθείες που συνδέουν κάθε κορυφή του, με το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου στην απέναντι πλευρά ( $MD = MD^{\prime},\ NE = NE^{\prime}$ ).

Σακης · #2

Εστω

τα σημεια επαφης των παραγγεγραμμενων ,που αντιστοιχουν στις κορυφες A,B

, στις πλευρες a,b

αντιστοιχως. Εστω

ο εγγεγραμμενος κυκλος του $\triangle{ABC}$ ,

το κεντρο του και E,F

τα σημεια επαφης του με τις a,b

.

Ειναι γνωστο οτι τα E{'},F{'}

ειναι τα συμμετρικα των E,F

ως προς τα μεσα των πλευρων a,b

, που ονομαζω M,K

αντιστοιχως. Ακομα αν $D\equiv{w}\cap{AE{'}}$ τοτε ξερουμε οτι

αντιδιαμετρικο του

.

Εχουμε λοιπον οτι $IM\parallel{DE{'}}$ αρα $IM\parallel{AE{'}}$ και ομοιως $IK\parallel{BF{'}}$ . Ακομα $MK\parallel{AB}$ .
Αρα τα τριγωνα ANB

και

ειναι ομοια αφου οι πλευρες τους ανα δυο ειναι παραλληλες.

Απο τις αναλογιες παιρνουμε: $\displaystyle{\frac{BN}{IK}=\frac{AN}{IM}=\frac{AB}{MK}=2}$

Εστω $G\equiv{IN}\cap{BK}$ και $G{'}\equiv{IN}\cap{AM}$

Τοτε $\displaystyle{\frac{GN}{GI}=\frac{BN}{IK}=\frac{AN}{IM}=\frac{G{'}N}{G{'}I}=2}$

Αρα $G{'}\equiv{G}$ ,

βαρυκεντρο και $\displaystyle{\frac{GN}{GI}=2}$ .

Απο την ασκηση βγαινει ενα ακομα συμπερασμα:
Εφοσον $\displaystyle{\frac{DE{'}}{IM}=2=\frac{AN}{IM}}$

τοτε $DE{'}=AN\rightarrow{AD=NE{'}}$ .

#3

Το έγκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο Nagel του τριγώνου ΚΛΜ των μέσων των πλευρών του ΑΒΓ.
Λόγω της ομοιοθεσίας λόγου 1/2 και κέντρου G, προκύπτει το ζητούμενο.

Γεωμετρία - I, G, Ng, συνευθειακά και GNg = 2GI.

Γεωμετρία - I, G, Ng, συνευθειακά και GNg = 2GI.

Re: Γεωμετρία - I, G, Na, συνευθειακά και GNa = 2GI.

Re: Γεωμετρία - I, G, Ng, συνευθειακά και GNg = 2GI.

Μέλη σε σύνδεση