Επιλογή συνάρτησης Ναι

S.E.Louridas · #1

Δίνεται αριθμός $\ell \geqslant 2.$ Να αποδειχθεί ότι: $\ell \left( {\cos \frac{\pi }{{\ell + 1}} - \cos \frac{\pi }{\ell }} \right) \geqslant 1 - \cos \frac{\pi }{{\ell + 1}}.$

S.E.Louridas

#2

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=x \cos \frac{\pi}{x}.}$

αυτή πληροί προφανώς τις προπροϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού στο διάστημα $\displaystyle{[l,l+1].}$

Τότε, υπάρχει $\displaystyle{q \in (l,l+1)}$ ώστε

$\displaystyle{f^{\prime}(q)=(l+1)\cos \frac{\pi}{l+1}-l \cos \frac{\pi}{l}.}$

Αποδεικνύουμε ότι $\displaystyle{f^{\prime}(q) \geq 1}$ και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

Eίναι $\displaystyle{f^{\prime}(q)=\cos \frac{\pi}{q}+\frac{\pi}{q}\sin \frac{\pi}{q}.}$

Επομένως, έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\cos t +t\sin t \geq 1,}$ όπου $\displaystyle{t \in (0, \frac{\pi}{2})}$ (αφού $\displaystyle{ 2 \leq l<q<l+1}$ ).

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(t)=\cos t +t \sin t}$ με $\displaystyle{t\in \left(0, \frac{\pi}{2} \right).}$

Tότε είναι $\displaystyle{g^{\prime}(t)=t\cos t>0,}$ οπότε επειδή η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα, έχουμε

$\displaystyle{g(t)>g\left(0)=1.}$

Ελπίζω να μη ξέφυγε κάτι.

#3

Παρατηρώ επίσης ότι μπορεί να αποφευχθεί η θεώρηση δεύτερης βοηθητικής συνάρτησης, παρατηρώντας ότι στο διάστημα

$\displaystyle{\left(0,\frac{\pi}{2} \right)}$ έχουμε

$\displaystyle{\cos t +t \sin t >\cos ^{2} t +\sin ^{2} t=1,}$

αφού $\displaystyle{1> \cos t }$ και $\displaystyle{t>\sin t.}$

Ας αναφερθεί ακόμα ότι το πρόβλημα αυτό (αλλά για φυσικές τιμές της μεταβλητής) βρίσκεται στην Longlist της Δ.Μ.Ο 1972 και είχε προταθεί από τη Βουλγαρία. Έχει ενδιαφέρον και απόδειξη με χρήση επαγωγής.

S.E.Louridas · #4

Ευχαριστώ τον Θάνο.
Απλά για λόγους και μόνο να φαίνονται οι μοναδικές δυνατότητες των Μαθηματικών
να σπουδάζουν την επιστημονική λογική και μέσω του πλουραλισμού χωρίς κοντραρίσματα των μεθόδων αλλά αλληλοσυμπληρώσεις επιτρέψτε μου να πω δύο πράγματα:

► Μία λύση είναι χρησιμοποιώντας την ανισότητα
$1 - \frac{{x^2 }} {2} \leqslant \sigma \upsilon \nu x \leqslant 1 - \frac{{x^2 }} {2} + \frac{{x^4 }} {{24}},o\tau \alpha \nu \;0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi }{2},$
που αποδεικνύεται εύκολα κατά τα γνωστά μέσω των παραγώγων. Μάλιστα το
΄ δεξί της μέλος ΄αποδεικνύεται με βάση το αριστερό.

► Μία άλλη απόδειξη όταν $\ell$ =n φυσικός μεγαλύτερος του 1 είναι η εξής: Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και δύο κάθετες ακτίνες του ΟΑ(άξονας συνημιτόνων), ΟΒ. Θεωρούμε
$arc{\rm A}{\rm M} = {\frac{\pi }{n },n \geqslant 2$
και τα σημεία
${\rm M}_1 ,{\rm M}_2 ,...,{\rm M}_n$ ,
ώστε
$arc{\rm A}{\rm M}_1 = arc{\rm M}_1 {\rm M}_2 = ... = arc{\rm M}_n {\rm M} = \frac{\pi } {{n\left( {n + 1} \right)}} \Rightarrow arc{\rm A}{\rm M}_n = \frac{\pi } {{n + 1}}.$
Αν
${\rm P}_1 ,{\rm P}_2 ,...,{\rm P}_n ,{\rm P},$
οι προβολές των
${\rm M}_1 ,{\rm M}_2 ,...,{\rm M}_n ,{\rm M}$
πάνω στον άξονα των συνημιτόνων ΟΑ τότε
${\rm P}_1 {\rm A} = \rho _1 ,{\rm P}_2 {\rm P}_1 = \rho _2 ,...,{\rm P}{\rm P}_n = \rho _{n + 1} \Rightarrow \rho _1 < \rho _2 < ... < \rho _n < \rho _{n + 1} ,$
οπότε
$\sigma \upsilon \nu \frac{\pi } {n} = 1 - {\rm P}{\rm A},\sigma \upsilon \nu \frac{\pi } {{n + 1}} = 1 - {\rm P}_n {\rm A} \Rightarrow n\sigma \upsilon \nu \frac{\pi } {n} = n - n{\rm P}{\rm A},$
$\left( {n + 1} \right)\sigma \upsilon \nu \frac{\pi } {{n + 1}} = n + 1 - \left( {n + 1} \right){\rm P}_n {\rm A} \Rightarrow \left( {n + 1} \right)\sigma \upsilon \nu \frac{\pi } {{n + 1}} - n\sigma \upsilon \nu \frac{\pi } {n} = 1 + n{\rm P}{\rm A} - \left( {n + 1} \right){\rm P}_n {\rm A}$
Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί ότι:
$n{\rm P}{\rm A} \geqslant \left( {n + 1} \right){\rm P}_n {\rm A}\,\alpha \rho \kappa \varepsilon \iota \,n\rho _{n + 1} \geqslant \sum\limits_{i = 1}^n {\rho _i } ,$ που ισχύει.

S.E.Louridas

Επιλογή συνάρτησης Ναι

Επιλογή συνάρτησης Ναι

Re: Επιλογή συνάρτησης Ναι

Re: Επιλογή συνάρτησης Ναι

Re: Επιλογή συνάρτησης Ναι

Μέλη σε σύνδεση