Ρητή παράσταση.

#1

Αν $\displaystyle{x,y,z,w}$ ρητοί αριθμοί με $\displaystyle{x+y+z+w=0,}$ αποδείξτε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{K=\sqrt{(xy-zw)(yz-wx)(zx-yw)}}$

είναι επίσης ρητός.

Edit: Αλλαγή προσήμου.

#2

Νομίζω πως η παράσταση είναι .. $\displaystyle{\sqrt {\left( {x y - z w} \right) \left( {y z - w x} \right) \left( {z x - y w} \right)} }$ : ρητός

$\displaystyle{x + y + z = - w \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2 \left( {\underbrace {x y + y z + z x}_a} \right) = {w^2} \Rightarrow a = \frac{1}{2} \left( {{w^2} - {x^2} - {y^2} - {z^2}} \right)}$

$\displaystyle{\left( {x y - z w} \right) \left( {y z - w x} \right) \left( {z x - y w} \right) = }$

$\displaystyle{ = \left( {x y + z \left( {x + y + z} \right)} \right) \left( {y z + \left( {x + y + z} \right) x} \right) \left( {z x + y \left( {x + y + z} \right)} \right) = \left( {{z^2} + a} \right) \left( {{x^2} + a} \right) \left( {{y^2} + a} \right) = }$

$\displaystyle{ = \left( {{z^2} + \frac{1}{2} \left( {{w^2} - {x^2} - {y^2} - {z^2}} \right)} \right) \left( {{x^2} + \frac{1}{2} \left( {{w^2} - {x^2} - {y^2} - {z^2}} \right)} \right) \left( {{y^2} + \frac{1}{2} \left( {{w^2} - {x^2} - {y^2} - {z^2}} \right)} \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{8} \left( {{w^2} - {x^2} - {y^2} + {z^2}} \right) \left( {{w^2} + {x^2} - {y^2} - {z^2}} \right) \left( {{w^2} - {x^2} + {y^2} - {z^2}} \right)}$

Όμως $\displaystyle{\left( {{w^2} - {x^2} + {y^2} - {z^2}} \right) = \left( {w - x} \right) \underbrace {\left( {w + x} \right)}_{ - \left( {y + z} \right)} + \left( {y - z} \right) \left( {y + z} \right) = \left( {y + z} \right) \left( {x - w + y - z} \right) = 2 \left( {y + z} \right) \left( {x + y} \right)}$

όμοια $\displaystyle{\left( {{w^2} - {x^2} - {y^2} + {z^2}} \right) = 2 \left( {x + z} \right) \left( {z + y} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {{w^2} + {x^2} - {y^2} - {z^2}} \right) = 2 \left( {x + z} \right) \left( {x + y} \right)}$

οπότε $\displaystyle{\left( {x y - z w} \right) \left( {y z - w x} \right) \left( {z x - y w} \right) = \frac{1}{8} \cdot 8 {\left( {x + y} \right)^2} {\left( {y + z} \right)^2} {\left( {z + x} \right)^2}}$

που σημαίνει ότι ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt {\left( {x y - z w} \right) \left( {y z - w x} \right) \left( {z x - y w} \right)} }$ είναι ρητός.

#3

Καλά που σηκώθηκα και ηρθα στο γραφείο και είδα την απάντηση του Σεραφείμ.

Θάνο ακόμη πράξεις έκανα!

Ρητή παράσταση.

Ρητή παράσταση.

Re: Ρητή παράσταση.

Re: Ρητή παράσταση.

Μέλη σε σύνδεση