Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

#1

Προσδιορίστε όλες τις πραγματικές τιμές της παραμέτρου α για τις οποίες η εξίσωση:

$\displaystyle{ 16x^4 - ax^3 + (2a + 17)x^2 - ax + 16 = 0 }$

έχει ακριβώς 4 πραγματικές ρίζες οι οποίες αποτελούν διαδοχικούς

όρους γεωμετρικής προόδου.

Υ.Γ : Το διαδοχικούς το θέτω εγώ κι ας μην το λέει η εκφώνηση.Το παρόν αποτέλεσε πρόταση

χώρας σε Ολυμπιάδα χωρίς να λέει ''διαδοχικοί'', αλλά η λύση που γίνεται φυσικά υποθέτει διαδοχικούς όρους.

Δε θέλω να σκεπτώ τι θα συνέβαινε αν την έδινα κι εγώ έτσι...

#2

Χρήστο πολύ γερή άσκηση! Από ποια Ολυμπιάδα είναι?

Γενικά νομίζω ότι κανείς δεν είναι αλάνθαστος. Μάλιστα το συγκεκριμένο θέμα μου θυμίζει τις εξετάσεις του ΑΣΕΠ 2000 και του ΑΣΕΠ 2005 όπου φιγούραρε ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο θέμα (νομίζω υπήρχε και σε κάποιο ξενόγλωσσο βιβλίο ατόφιο, αλλιώς δεν εξηγούνταν η "πρωτοτυπία" αυτή) και μάλιστα έλειπε η λέξη "διαδοχικοί" που φυσικά ήταν αναγκαία.

Μήπως στο εξωτερικό όταν λένε "the roots form geometric progression" εννοούν ότι οι όροι αυτοί θα είναι και διαδοχικοί? Επειδή δε γνωρίζω κάνω απλά μία ερώτηση προς ανθρώπους που πιθανόν θα το έχουν ξαναδεί (κ. Λάμπρου ή Δημήτρη θέλουμε τα φώτα σας...). Διότι το θέμα του ΑΣΕΠ που μπήκε δύο φορές ήταν μάλιστα από μεταφρασμένο στα ελληνικά ξενόγλωσσο βιβλίο και προφανώς ο μεταφραστής δε μετέφρασε καλά στα ελληνικά την παραπάνω πρόταση (αν φυσικά "form" σημαίνει ότι "σχηματίζουν διαδοχικές").

Σε κάθε περίπτωση παραθέτω τη λύση της παραπάνω άσκησης. Δε θα ήθελα να σκεφτώ τι θα γινόταν αν κάτι τέτοιο έπεφτε στις εξετάσεις του ΑΣΕΠ (και φυσικά δε θα ήθελα να ήμουν υποψήφιος...)

Ας υποθέσουμε ότι οι ρίζες είναι y^3,y^3l,y^3l^2,y^3l^3

(βάζω

αντί για y διότι διαφορετικά θα έπρεπε να θέσουμε πιο κάτω $y^{1/3}=u$ . Το κάνω λοιπόν από την αρχή).

Είναι εύκολο να δούμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης δε μπορεί να είναι όλες ίσες ή να υπάρχουν δύο ζεύγη ίσων ριζών. Άρα $|l|\neq 1$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι |l|>1

δηλαδή ότι οι παραπάνω όροι είναι τοποθετημένοι κατά αύξουσα απόλυτη σειρά.

Λόγω του ότι οι ισαπέχοντες από το δευτεροβάθμιο όρο (2a+17)x^2

όροι είναι ίσοι, αν το πολυώνυμο αυτό έχει ρίζα ένα αριθμό τότε θα έχει ως ρίζα και τον αντίστροφό του.

Όμως οι y^3,y^3l

δεν μπορεί να είναι αντίστροφοι διότι τότε και οι όροι y^3l^2

και

θα ήταν αντίστροφοι και θα παίρναμε |l|=1

, άτοπο.

Όμοια οι $y^3, \ y^3l^2$ δεν μπορεί να είναι αντίστροφοι διότι τότε και οι όροι y^3l

και

θα ήταν αντίστροφοι και θα παίρναμε |l|=1

, άτοπο.

Άρα οι $y^3, \ y^3l^3$ είναι αντίστροφοι όπως επίσης και οι $y^3l , \ y^3l^2$ .

Συνεπώς παίρνουμε $l=\displaystyle\frac{1}{y^2}$ κι έτσι οι ρίζες είναι οι:

$y^3,y,\displaystyle\frac{1}{y},\displaystyle\frac{1}{y^3}$

Από τους τύπους Vieta παίρνουμε ότι το άθροισμα των ριζών είναι $\displaystyle\frac{a}{16}$ ενώ το άθροισμα των γινομένων ανα δύο των ριζών είναι $\displaystyle\frac{2a+17}{16}$

Άρα $y^3+y+\displaystyle\frac{1}{y}+\frac{1}{y^3}=\displaystyle\frac{a}{16}$ και

$y^4+y^2+1+1+\displaystyle\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^4}=\displaystyle\frac{2a+17}{16}$

Θέτοντας $u=y+\displaystyle\frac{1}{y}$ παίρνουμε

$u^3-2u=\displaystyle\frac{a}{16}$ και

$u^4-u^2+2=\displaystyle\frac{2a+17}{16}$ καθώς επίσης και ότι $|u|\geq 2$

Απαλοίφωντας το

από τις παραπάνω δύο εξισώσεις παίρνουμε τελικά την εξίσωση:

16u^4-32u^3-48u^2+64u+15=0

, της οποίας οι πιθανές ρητές ρίζες είναι οι $\displaystyle\frac{m}{n}$ όπου

διαιρέτης του

και

διαιρέτης του

. Τελικά οι ρητές ρίζες είναι οι $-\displaystyle\frac{3}{2}$ και $\displaystyle\frac{5}{2}$ ενώ λύνοντας τη δευτεροβάθμια που προκύπτει βρίσκουμε και τις άρρητες $\displaystyle\frac{1\pm\sqrt{2}}{2}$ . Όμως επειδή $|u|\geq 2$ άρα τελικά $u=\displaystyle\frac{5}{2}$ κι έτσι παίρνουμε $\boxed{a=170}$ τιμή που επαληθεύει τις αρχικές συνθήκες.

Αλέξανδρος

#3

H άσκηση είναι απο τα shortlisted problems της ολυμπιάδας του 1982, προταθείσα απο τη Βουλγαρία.

Η λύση έχει τα στοιχεία αυτής που είχα υπ'όψη.

Όλα τα πολυώνυμα σε μία άσκηση.(υπερβολή, αλλά έχει και δόση αλήθειας)

Πράγματι δύσκολη άσκηση.

Ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Αν κάποιος έχει σκεφτεί κάτι πιό απλό, ας το καταθέσει παρακαλώ.

Καλημέρα!

Y.Γ: Μία ερώτηση πρός όλους αλλά κυρίως πρός τον Γ.Μπαλόγλου.Χτές είχαμε τα συνημίτονα των 36 και 72 τα οποία ελήφθησαν ''ξερά''.Τώρα έχουμε την πρόταση ''Λόγω του ότι οι ισαπέχοντες όροι του μεσαίου όρου του πολυωνύμου είναι ίσοι τότε αν το πολυώνυμο δέχεται τη ρίζα ρ(διάφορη του μηδενός), τότε θα δέχεται και την αντίστροφη της''. Θα δεχτούν οι βαθμολογητές την(αναμφισβήτητη) ισχύ της ή θα απαιτήσουν και την αποδειξή της
ώστε να υπάρχει πληρότητα στη λύση;Με λίγα λόγια γιατί να μη δεχτούν έτοιμη την όρθή τιμή του συνημιτόνου των 72 ή της εφαπτομένης των 36 και να δεχτούν αυτό το θεώρημα ή αντιστρόφως; Εδώ χρειαζόμαστε φώτα σίγουρα.

#4

chris_gatos έγραψε:
Y.Γ: Τώρα έχουμε την πρόταση ''Λόγω του ότι οι ισαπέχοντες όροι του μεσαίου όρου του πολυωνύμου είναι ίσοι τότε αν το πολυώνυμο δέχεται τη ρίζα ρ(διάφορη του μηδενός), τότε θα δέχεται και την αντίστροφη της''. Θα δεχτούν οι βαθμολογητές την(αναμφισβήτητη) ισχύ της ή θα απαιτήσουν και την αποδειξή της ώστε να υπάρχει πληρότητα στη λύση;Με λίγα λόγια γιατί να μη δεχτούν έτοιμη την όρθή τιμή του συνημιτόνου των 72 ή της εφαπτομένης των 36 και να δεχτούν αυτό το θεώρημα ή αντιστρόφως; Εδώ χρειαζόμαστε φώτα σίγουρα.

Εγώ πάντως δε θα διακινδύνευα να άφηνα έτσι τη λύση! Θα έβαζα μία απόδειξη του παραπάνω λήμματος για να είμαι καλυμμένος. Το ίδιο και για τις τιμές των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών $36^{\circ}$ και $72^{\circ}$ .

Αλέξανδρος

#5

chris_gatos έγραψε:Y.Γ: Μία ερώτηση πρός όλους αλλά κυρίως πρός τον Γ.Μπαλόγλου.Χτές είχαμε τα συνημίτονα των 36 και 72 τα οποία ελήφθησαν ''ξερά''.Τώρα έχουμε την πρόταση ''Λόγω του ότι οι ισαπέχοντες όροι του μεσαίου όρου του πολυωνύμου είναι ίσοι τότε αν το πολυώνυμο δέχεται τη ρίζα ρ(διάφορη του μηδενός), τότε θα δέχεται και την αντίστροφη της''. Θα δεχτούν οι βαθμολογητές την(αναμφισβήτητη) ισχύ της ή θα απαιτήσουν και την αποδειξή της
ώστε να υπάρχει πληρότητα στη λύση;Με λίγα λόγια γιατί να μη δεχτούν έτοιμη την όρθή τιμή του συνημιτόνου των 72 ή της εφαπτομένης των 36 και να δεχτούν αυτό το θεώρημα ή αντιστρόφως; Εδώ χρειαζόμαστε φώτα σίγουρα.

Δεν έχω βαθμολογήσει ποτέ γραπτά ΑΣΕΠ, οπότε δεν γνωρίζω την απάντηση

Αν πάντως ήμουν βαθμολογητής χωρίς σαφείς οδηγίες, σίγουρα θα δεχόμουν και τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και το λήμμα της αντίστροφης ρίζας ως γνωστά και δεν θα αφαιρούσα τίποτα. [Και τι γίνεται αν κάποιος χρησιμοποιήσει καθαρά πανεπιστημιακές τεχνικές που κάποιοι βαθμολογητές δεν γνωρίζουν καν;!]

Με την ευκαιρία, το θέμα των διαγωνισμών ΑΣΕΠ 2000 & 2005 δεν αφορούσε γεωμετρική αλλά αριθμητική πρόοδο: αυτό το κάνει σημαντικά ευκολότερο.

Γιώργος Μπαλόγλου

#6

Φυσικά και ήταν ευκολότερο.

Η ερώτηση Γιώργο δεν απαιτούσε να είσαι διορθωτής για να απαντήσεις.

Απλά αναρωτιέμαι γιατί το ένα έτσι και το άλλο...γιουβέτσι.

Στις Ολυμπιάδες αλήθεια θα απαιτούσε απόδειξη;

Mα τι θέλω και ρωτάω;

Πάλι ''μεσοβέζικη'' απάντηση θα εισπράξω.

Καλό μεσημέρι!

#7

cretanman έγραψε:Χρήστο πολύ γερή άσκηση! Από ποια Ολυμπιάδα είναι?

Γενικά νομίζω ότι κανείς δεν είναι αλάνθαστος. Μάλιστα το συγκεκριμένο θέμα μου θυμίζει τις εξετάσεις του ΑΣΕΠ 2000 και του ΑΣΕΠ 2005 όπου φιγούραρε ΑΚΡΙΒΩΣ το ίδιο θέμα (νομίζω υπήρχε και σε κάποιο ξενόγλωσσο βιβλίο ατόφιο, αλλιώς δεν εξηγούνταν η "πρωτοτυπία" αυτή) και μάλιστα έλειπε η λέξη "διαδοχικοί" που φυσικά ήταν αναγκαία.

Μήπως στο εξωτερικό όταν λένε "the roots form geometric progression" εννοούν ότι οι όροι αυτοί θα είναι και διαδοχικοί? Επειδή δε γνωρίζω κάνω απλά μία ερώτηση προς ανθρώπους που πιθανόν θα το έχουν ξαναδεί (κ. Λάμπρου ή Δημήτρη θέλουμε τα φώτα σας...). Διότι το θέμα του ΑΣΕΠ που μπήκε δύο φορές ήταν μάλιστα από μεταφρασμένο στα ελληνικά ξενόγλωσσο βιβλίο και προφανώς ο μεταφραστής δε μετέφρασε καλά στα ελληνικά την παραπάνω πρόταση (αν φυσικά "form" σημαίνει ότι "σχηματίζουν διαδοχικές").

Αλέξανδρε έχεις ήδη διαλευκάνει το ζήτημα: η ακριβής και κατευθείαν μετάφραση του "the roots form geometric progression" είναι "οι ρίζες σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο", οπότε τα υπόλοιπα έπονται -- όλοι μαζί οι όροι μιας γεωμετρικής προόδου είναι αναπόφευκτα διαδοχικοί.

Για κάτι πιο ενδιαφέρον τώρα, σκιαγραφώ αδρά μια λύση όχι τόσο κομψή όσο η δική σου: ας είναι

,

, $gw^{2}$ , $gw^{3}$ οι ρίζες, τότε από τύπους Vieta και απαλοιφή του

καταλήγουμε στις σχέσεις $w^{3}=g^{-2}$ και $g=\frac{16(w^{5}-1)-w^{2}(w-1)}{32w^{2}(w^{4}-1)}$ ^ θέτοντας $t=g^{-\frac{1}{3}}$ καταλήγουμε στην εξίσωση $16t^{10}-32t^{9}-t^{6}+t^{4}+32t-16=0$ , που είναι βεβαίως* ισοδύναμη προς την $(t+1)(t-1)(2t-1)(t-2)(8t^{6}+4t^{5}+10t^{4}+5t^{3}+10t^{2}+4t+8)=0$ , και συμπεραίνουμε ότι t=2

ή ισοδύναμα $t=\frac{1}{2}$ , οπότε $g=\frac{1}{8}$ , w=4

, και, τελικά, a=170

.

*όλοι οι υπολογισμοί δια χειρός

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

Σχετικά με το "διαδοχικούς"

Τουλάχιστον στην Αγγλία ο όρος "αριθμητική πρόοδος" χρησιμοποιείται και για πεπερασμένες αριθμητικές προόδους. Έτσι για παράδειγμα η (πεπερασμένη) ακολουθία 2,4,6 είναι αριθμητική πρόοδος ενώ η 2,4,8 όχι.

Αν λοιπόν η άσκηση λέει "form an arithmetic progression", δηλαδή "σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο", τότε η άσκηση είναι εντάξει διότι τα μεν 2,4,6 σχηματίζουν (πεπερασμένη) αριθμητική πρόοδο, τα δε 2,4,8 όχι.

Αν όμως λέει "are terms of an arithmetic progression", δηλαδή "είναι όροι αριθμητικής προόδου", τότε όπως και να το δεις υπάρχει πρόβλημα αφού και τα 2,4,8 είναι όροι της αριθμητικής προόδου 2,4,6,8,...

----------------------------------

Σχετικά με το άλλο θέμα που προέκυψε εγώ δεν θα αφαιρούσα μονάδες ούτε αν το γραπτό έλεγε μόνο «Παρατηρώ ότι αν η $\rho$ είναι ρίζα της

τότε και η $1/\rho$ είναι ρίζα» χωρίς να αναφέρει καν ότι «οι ισαπέχοντες όροι του μεσαίου όρου είναι ίσοι».

Δεν γνωρίζω όμως με ποια κριτήρια βαθμολογούνται τα γραπτά στον ΑΣΕΠ και ίσως να ήταν καλύτερα κάποιος να ακολουθήσει την πρόταση του Αλέξανδρου.

#9

Aν σου πω πως περίμενα αυτήν την απάντηση Γιώργο, δε θα με πιστέψεις!

Αρα απο εδώ και στο εξής όταν λέει σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο, θα εννοείται πως είναι διαδοχικοί.

Διαλευκάνθηκε.

Ευχαριστούμε!

Bonus απορώ πως ξέφυγε...

#10

Αν και βγαίνω αρκετά έξω από τα νερά μου, επιτρέψτε μου μια προσέγγιση, παρόμοια με του Αλέξανδρου (κάπως πιο "λυκειακή"), όσον αφορά την τεκμηρίωση των προτάσεων που ο Αλέξανδρος (καλώς, κατά τη γνώμη μου) θεωρεί δεδομένες:

Προφανώς το x = 0 δεν είναι ρίζα.

Διαιρούμε την εξίσωση $\displaystyle 16x^4 - \alpha x^3 + \left( {2\alpha + 17} \right)x^2 - \alpha x + 16 = 0\;$ με $\displaystyle x^2$ , οπότε:

$\displaystyle 16x^2 - \alpha x + \left( {2\alpha + 17} \right) - \alpha \frac{1}{x} + 16\frac{1}{{x^2 }} = 0\; \\ \\ \Leftrightarrow \;16\left( {x^2 + \frac{1}{{x^2 }}} \right) - \alpha \left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \left( {2\alpha + 17} \right) = 0$

Θέτουμε $\displaystyle x + \frac{1}{x} = y\; \Rightarrow \;x^2 + \frac{1}{{x^2 }} = y^2 - 2$

Η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle 16y^2 - \alpha y + 2\alpha - 15 = 0$ , που έχει ρίζες: $\displaystyle y_1 = \frac{{\alpha - \sqrt {\alpha ^2 - 128\alpha + 960} }}{2},\;y_2 = \frac{{\alpha + \sqrt {\alpha ^2 - 128\alpha + 960} }}{2}$ ,

με τον περιορισμό: $\displaystyle \alpha ^2 - 128\alpha + 960 \ge 0\; \Leftrightarrow \;\alpha \le 8\;\;\eta \;\;\alpha \ge 120$

Θέτω $\displaystyle \sqrt {\alpha ^2 - 128\alpha + 960} = r$ , οπότε $\displaystyle y_1 = \frac{{\alpha - r}}{2},\;y_2 = \frac{{\alpha + r}}{2}$ .

Είναι: $\displaystyle x + \frac{1}{x} = y_1 \; \Leftrightarrow \;x^2 - \frac{{\alpha - r}}{2}x + 1 = 0$ ,

με τον περιορισμό $\displaystyle \left( {\alpha - r} \right)^2 \ge 16\; \Leftrightarrow \;\left| {\alpha - r} \right| \ge 4$

Έστω $\displaystyle x_1 ,\;x_2$ οι ρίζες της εξίσωσης. Από τύπους Vieta είναι: $\displaystyle x_1 \cdot x_2 = 1\; \Rightarrow \;x_2 = \frac{1}{{x_1 }}$ .

Ομοίως $\displaystyle x + \frac{1}{x} = y_2 \; \Leftrightarrow \;x^2 - \frac{{\alpha + r}}{2}x + 1 = 0$ ,

με τον περιορισμό $\displaystyle \left( {\alpha + r} \right)^2 \ge 16\; \Leftrightarrow \;\left| {\alpha + r} \right| \ge 4$

Έστω $\displaystyle x_3 ,\;x_4$ οι ρίζες της εξίσωσης. Από τύπους Vieta είναι: $\displaystyle x_3 \cdot x_4 = 1\; \Rightarrow \;x_4 = \frac{1}{{x_3 }}$ .

Όμως, αφού οι $\displaystyle x_1 ,\;x_2 ,\;x_3 ,\;x_4$ είναι διαδοχικοί όροι Γεωμ. Προόδου, έστω με λόγο λ, $\displaystyle \lambda \ne 0$ , θα είναι: $\displaystyle x_2 = \frac{1}{{x_1 }} = \lambda x_1 \; \Leftrightarrow \;\lambda = \frac{1}{{x_1^2 }}$ ,

οπότε $\displaystyle x_3 = \lambda ^2 x_1 = \frac{1}{{x_1^3 }},\;x_4 = x_1^3$

Οι όροι της προόδου είναι: $\displaystyle x_1^3 ,\;\;x_1 ,\;\;\frac{1}{{x_1 }},\;\frac{1}{{x_1^3 }}$ για $\displaystyle \lambda > 1$ (ή αντίστροφα).

Από εδώ και κάτω παρακολουθώ την πορεία του Αλέξανδρου, ζητώντας μια διευκρίνηση:
Οι τύποι του Vieta που δίνουν άθροισμα α/16 εφαρμόστηκαν σε εξίσωση 4ου βαθμού;
Κάποιες επιπλέον πληροφορίες;
Επιχείρησα να φτιάξω εξίσωση με τις ρίζες αλλά η άσκηση απογειωνόταν απότομα...

Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ. Χρήστο, αν σε καλέσουν για θεματοδότη σε ΑΣΕΠ, βλέπω να βάζεις:

Θέμα 1ο Να αποδειχθεί ότι οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής,αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία.

Θέμα 2ο Να αποδειχθεί ότι για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

και ως 3ο θέμα το παραπάνω

.

#11

Rigio έγραψε: Από εδώ και κάτω παρακολουθώ την πορεία του Αλέξανδρου, ζητώντας μια διευκρίνηση:
Οι τύποι του Vieta που δίνουν άθροισμα α/16 εφαρμόστηκαν σε εξίσωση 4ου βαθμού;
Κάποιες επιπλέον πληροφορίες;
Επιχείρησα να φτιάξω εξίσωση με τις ρίζες αλλά η άσκηση απογειωνόταν απότομα...

Πράγματι Γιώργο αυτούς εφάρμοσα. (Ειδικότερα μόνο τους δύο πρώτους από τους παρακάτω αφού ο τελευταίος ικανοποιείται αυτόματα λόγω της μορφής που έχουν οι ρίζες).

Για εκείνους που δεν έχουν υπόψη τους γενικευμένους τύπους Vieta:

Αν x_1,x_2,x_3,x_4

οι ρίζες της εξίσωσης $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, \ a\neq 0$ τότε:

$x_1+x_2+x_3+x_4=-\displaystyle\frac{b}{c}$
$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\displaystyle\frac{c}{a}$
$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\displaystyle\frac{d}{a}$
$x_1x_2x_3x_4=\displaystyle\frac{e}{a}$

Για την απόδειξή τους κάνεις ακριβώς αυτό που περιγράφεις παραπάνω:

Το πολυώνυμο που έχει ρίζες τους αριθμούς x_1,x_2,x_3,x_4

είναι το

και για να είναι εκ ταυτότητος ίσο με το $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, \ a\neq 0$ , εξισώνουμε τους συντελεστές και το αποτέλεσμα είναι οι παραπάνω τύποι.

Αλέξανδρος

#12

chris_gatos έγραψε:Aν σου πω πως περίμενα αυτήν την απάντηση Γιώργο, δε θα με πιστέψεις!

Αρα απο εδώ και στο εξής όταν λέει σχηματίζουν γεωμετρική πρόοδο, θα εννοείται πως είναι διαδοχικοί.

Διαλευκάνθηκε.

Ευχαριστούμε!

Bonus απορώ πως ξέφυγε...

Έχω κι εγώ bonus (#10, σελίδα 2)

#13

Και άλλο bonus

#14

Γιώργο Ρίζο νομίζω πως με αδικείς γιατί

1)Εγώ άλλα εννοώ.

2)Ποτέ δεν είπα να αποδειχθούν πράγματα που ισχύουν,ώστε η λύση να είναι σωστή.Άλλοι το είπαν.

Αν εννοείς πως το πρόβλημα ήταν δύσκολο για τα πλαίσια του ΑΣΕΠ συμφωνώ απόλυτα. Απλά βρήκα ένα που να

προσεγγίζει το ζητούμενο δύο διαγωνισμών.

Δε βλέπω το λόγο όμως να μη δούμε και κάτι πιό δύσκολο. Οι λύσεις που προτείνονται μπορεί να το απλοποιούν.

Παράδειγμα η άσκηση που ετέθη απο το Θάνο Μάγκο που φαινομενικά ήταν δύσκολη(εκείνη με τα μέτρα μιγαδικών και

το όρισμα), όμως με μία κίνηση την έκοψε στα δύο ο Σ.Καπελλίδης.

Γιώργο Μπαλόγλου για το 1ο bonus δεν έχω παρά να σε ευχαριστήσω γιατί το έψαχνα και δε μπορούσα να θυμηθώ που

είναι.Αν το διαβάσει κάποιος προσεκτικά θα βγάλει τα συμερασματά του.

Για το δεύτερο τώρα θα σου έλεγα να του αλλάξεις φάκελο γιατί η έννοια ''αναγωγιμότητα πολυωνύμου στο R''

μάλλον δεν έχει να κάνει με τη θεματολογία της Γ'Λυκείου, αλλά ούτε γενικότερα με την ύλη Λυκείου.

Και αν θέλεις και να το ομολογήσω (ειλικρινά δεν έχω κανένα πρόβλημα) εγώ σαν Χρήστος δεν έχω τη θεωρία

ώστε να καταλάβω τι ακριβώς ζητάς ούτε να απαντήσω άμεσα.

Άλλοι που την έχουν θα απαντήσουν στον κατάλληλο όμως φάκελο.

Επαναλαμβάνω για να τελειώσω οριστικά με αυτό το θέμα πως ήθελαν ή δεν ήθελαν κάποιοι μπήκα υπεύθυνος σε αυτόν

το φάκελο.Δεν το επεδίωξα. Όμως οφείλω να πληροφορήσω πως απο εδώ δε θα φύγω

αν δε τελειώσει η θητεία μου.Μόνο απο πείσμα.

Επιπροσθέτως να θυμίσω την υποπαράγραφο του κανονισμού '' Οι συντονιστές οφείλουν να βοηθούν τους επιμελητές

στο έργο τους''.

Καλημέρα σας και καλό μάθημα (σε όσους έχουν).

#15

chris_gatos έγραψε:Για το δεύτερο τώρα θα σου έλεγα να του αλλάξεις φάκελο γιατί η έννοια ''αναγωγιμότητα πολυωνύμου στο R''

μάλλον δεν έχει να κάνει με τη θεματολογία της Γ'Λυκείου, αλλά ούτε γενικότερα με την ύλη Λυκείου.

Και αν θέλεις και να το ομολογήσω (ειλικρινά δεν έχω κανένα πρόβλημα) εγώ σαν Χρήστος δεν έχω τη θεωρία

ώστε να καταλάβω τι ακριβώς ζητάς ούτε να απαντήσω άμεσα.

Άλλοι που την έχουν θα απαντήσουν στον κατάλληλο όμως φάκελο.

Μόλις το μετακίνησα στον φάκελλο "Άλγεβρα Α.Ε.Ι." ... αν και νομίζω πως μπορεί να αντιμετωπιστεί στοιχειωδώς, θα δούμε!

Γιώργος Μπαλόγλου

#16

chris_gatos έγραψε:Γιώργο Ρίζο νομίζω πως με αδικείς γιατί

1)Εγώ άλλα εννοώ.
2)Ποτέ δεν είπα να αποδειχθούν πράγματα που ισχύουν,ώστε η λύση να είναι σωστή.Άλλοι το είπαν.
Αν εννοείς πως το πρόβλημα ήταν δύσκολο για τα πλαίσια του ΑΣΕΠ συμφωνώ απόλυτα. Απλά βρήκα ένα που να
προσεγγίζει το ζητούμενο δύο διαγωνισμών.

Χρήστο γεια.
Ζητώ συγνώμμη αν σε αδίκησα, αν και δεν εννοείται ότι δεν ήθελα.
Προχωρούσα βήμα - βήμα την άσκηση και εύρισκα διαρκώς νέες δυσκολίες, με ανυπέρβλητη (για μένα) την γενίκευση του Vieta, την οποία είχε την καλοσύνη ο Αλέξανδρος να διευκρινήσει.
Κάνοντας χιούμορ, έγραψα ότι κάτι τέτοιο σε ΑΣΕΠ θα ήταν "ισοδύναμο" με τα θεωρήματα μη πληρότητας...
Η άστοχη φράση ήταν "αν έβαζες εσύ θέματα...". Μπορώ να το διαγράψω; (Και την παρελκόμενη συζήτηση)...

Πάντως ως πρόκληση σε αναζήτηση το θέμα έπαιξε τον ρόλο του. Άλλωστε μάθαμε και κάτι νέο (Δ.Β.Μ)!

chris_gatos έγραψε: Επαναλαμβάνω για να τελειώσω οριστικά με αυτό το θέμα πως ήθελαν ή δεν ήθελαν κάποιοι μπήκα υπεύθυνος σε αυτόν
το φάκελο.Δεν το επεδίωξα. Όμως οφείλω να πληροφορήσω πως απο εδώ δε θα φύγω
αν δε τελειώσει η θητεία μου.Μόνο απο πείσμα.

Αυτό, προφανώς, δεν απευθύνεται σε μένα, οπότε δεν πειράζει που δεν το κατανοώ.

Γιώργος Ρίζος

Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Re: Ρίζες πολυωνύμου σε γεωμετρική πρόοδο

Μέλη σε σύνδεση