Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

#1

Η συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ είναι μονότονη και ικανοποιεί τη σχέση
$\displaystyle{(f(x)-f(y))(yf(x)-xf(y))\leq 0, \forall x,y \in (0,+\infty)$
Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$

ZITAVITA · #2

Κάπως πρόχειρη , αλλά δε βρίσκω λάθος
Εφόσον
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left( {f(x) - f(y)} \right)\left( {yf(x) - xf(y)} \right) \le 0 \Rightarrow \\ \left( {f(x) - f(y)} \right) \le 0 \\ \end{array} }$
και $\displaystyle{ \left( {yf(x) - xf(y)} \right) \ge 0 }$ ή
$\displaystyle{ \left( {f(x) - f(y)} \right) \ge 0 }$ και
$\displaystyle{ \left( {yf(x) - xf(y)} \right) \le 0 }$

έστω
$\displaystyle{ \left( {f(x) - f(y)} \right) \le 0\kappa \alpha \iota \left( {yf(x) - xf(y)} \right) \ge 0 }$ τότε
$\displaystyle{f(x) \le f(y)\kappa \alpha \iota yf(x) \ge xf(y) }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow f(x) \ge \frac{x}{y}f(y) }$

παίνοντας όρια
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to y} f(x) \le f(y)\kappa \alpha \iota \mathop {\lim }\limits_{x \to y} f(x) \ge \frac{x}{y}\mathop {\lim }\limits_{x \to y} f(y) \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to y} f(x) \ge f(y) }$ οπότε
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to y} f(x) = f(y) }$ άρα f συνεχής στο
$\displaystyle{ \left( {0, + \infty } \right) }$ Ομοίως και η άλλη περίπτωση

#3

Νομίζω υπάρχει λάθος. Αν κατάλαβα καλά την λύση, απέδειξες αρχικά ότι

$\forall x \forall y$
$f(x) \leqslant f(y)$ και $yf(x) \geqslant xf(y)$
ή
$f(x) \geqslant f(y)$ και $yf(x) \leqslant xf(y)$

Αργότερα όμως χρησιμοποίησες ότι

$\forall x \forall y$ $f(x) \leqslant f(y)$ και $yf(x) \geqslant xf(y)$
ή
$\forall x \forall y$ $f(x) \geqslant f(y)$ και $yf(x) \leqslant xf(y)$

Αυτό όμως είναι λογικό λάθος.

ZITAVITA · #4

ΠΑΡΑΘΕΣΗ Νομίζω υπάρχει λάθος. Αν κατάλαβα καλά την λύση, απέδειξες αρχικά ότι

$\forall x \forall y$
$f(x) \leqslant f(y)$ και $yf(x) \geqslant xf(y)$
ή
$f(x) \geqslant f(y)$ και $yf(x) \leqslant xf(y)$

όχι αυτό το ισχυρίστηκα (εφόσον μας το δίνει ως δεδομένο η άσκηση) και στη συνέχεια πήρα όρια....

manos1992 · #5

Κι εγώ νομίζω υπάρχει λάθος στην απόδειξη..

Ο αρχικός ισχυρισμός είναι σωστός αλλά δε μπορούμε να διακρίνουμε μόνο αυτές τις δυο περιπτώσεις αφού είναι πιθανόν να ισχύει

$((f(x)-f(y))\geq 0\wedge (yf(x)-xf(y))\leq 0)\forall x,y\in A\subseteq (0,+\infty)$

και $((f(x)-f(y))\leq 0\wedge (yf(x)-xf(y))\geq 0)\forall x,y\in ((0,+\infty)-A)$

ή και άλλες περιπτώσεις μου φαίνεται και μετά θέλει δουλεια για να παίξουμε ετσι με όρια..

Nick1990 · #6

s.kap έγραψε:Η συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ είναι μονότονη και ικανοποιεί τη σχέση
$\displaystyle{(f(x)-f(y))(yf(x)-xf(y))\leq 0, \forall x,y \in (0,+\infty)$
Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$

Οι ασυνέχειες μιας μονότονης συνάρτησης είναι μόνο άλματα ασυνέχιας, οπότε αν

είναι ένα σημείο ασυνέχιας, τότε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης στο

θα υπάρχουν και θα είναι δύο αριθμοί a,b

, με $a \neq b$ .
Τότε όμως παίρνοντας το

να τίνει στο

απο τα δεξία και το

να τίνει στο

απο αριστερά, από τη σχέση που έχουμε θα πάρουμε:
$(a - b)(ka - kb) = k(a - b)^2 \leq 0$ , άτοπο αφού $a \neq b, k > 0$

#7

Nick1990 έγραψε:
s.kap έγραψε:Η συνάρτηση $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$ είναι μονότονη και ικανοποιεί τη σχέση
$\displaystyle{(f(x)-f(y))(yf(x)-xf(y))\leq 0, \forall x,y \in (0,+\infty)$
Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$
Οι ασυνέχειες μιας μονότονης συνάρτησης είναι μόνο άλματα ασυνέχιας, οπότε αν είναι ένα σημείο ασυνέχιας, τότε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης στο θα υπάρχουν και θα είναι δύο αριθμοί , με $a \neq b$ .
Τότε όμως παίρνοντας το να τίνει στο απο τα δεξία και το να τίνει στο απο αριστερά, από τη σχέση που έχουμε θα πάρουμε:
$(a - b)(ka - kb) = k(a - b)^2 \leq 0$ , άτοπο αφού $a \neq b, k > 0$

Νίκο απαντάς πολύ σωστά, αλλά πολύ συμπυκνωμένα. Αναρτώ μια πιο αναλυτική λύση:
Η συνάρτηση ως μονότονη έχει πλευρικά όρια σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Ονομάζω $\displaystyle{\lim_{x \to k^+}f(x)=a}$ και $\displaystyle{\lim_{x \to k^-}f(x)=b}$ .
Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτω ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα.
Η δοθείσα σχέση δίνει $\displaystyle{(f(x)-f(y))(\frac {f(x)}{x}-\frac {f(y)}{y}) \leq 0}$ ,
άρα η $\displaystyle{\frac {f(x)}{x}}$ θα είναι φθίνουσα.
Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο σημείο $\displaystyle{k}$ , τότε θα πρέπει
$\displaystyle{lim _{x \to k^-}f(x)<lim_{x\to k^+}f(x) \wedge lim _{x \to k^-}\frac {f(x)}{x}>lim_{x\to k^+}\frac {f(x)}{x}}$ , άρα
$\displaystyle{a<b \wedge \frac {a}{k}>\frac {b}{k}}$ , άτοπο.
Φιλικά

Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Re: Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Re: Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Re: Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Re: Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Re: Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Re: Μονοτονία συνεπάγεται τη συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση