Συναρτησιακές Εξισώσεις

#61

cretanman έγραψε:Άσκηση 23

Αν $f: \mathbb{N}^{\star}\to\mathbb{N}^{\star}$ είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με $f\big(f(n)\big)=3n$ , να βρείτε το .

Μετά τη λύση του Dreamkiller (viewtopic.php?f=50&t=3460&p=55616#p55616) ας προσθέσω ότι τοπρόβλημα υπάρχει ως "advanced problem 57" στο "101 Problems in Algebra", AMT Publishing, των T.Andreescu, Z.Feng.

(Η πηγή του Αλέξανδρου είναι άλλη).

Στο βιβλίο αυτό υπάρχουν δυο λύσεις. Εν συντομία η δεύτερη έχει ως εξής:

Εστω $(n)_3=a_1a_2\cdots a_{\ell}$ η παράσταση του φυσικού

στο σύστημα με βάση το 3.
Τότε με επαγωγή δείχουμε ότι

$f(n)_3=\begin{cases} & 2a_2\cdots a_{\ell} \text{ if } a_1=1 \\ & 1a_2\cdots a_{\ell}0\text{ if } a_1=2 \end{cases}$

Αφού (2010)_3=2202110

, είναι

, κι άρα

$f(2010)=1\cdot 3^2+1\cdot 3^3+2\cdot 3^4+2\cdot 3^6+3^7=3843$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#62

achilleas έγραψε:
cretanman έγραψε:Άσκηση 23

Αν $f: \mathbb{N}^{\star}\to\mathbb{N}^{\star}$ είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση με $f\big(f(n)\big)=3n$ , να βρείτε το .

Μετά τη λύση του Dreamkiller (viewtopic.php?f=50&t=3460&p=55616#p55616) ας προσθέσω ότι τοπρόβλημα υπάρχει ως "advanced problem 57" στο "101 Problems in Algebra", AMT Publishing, των T.Andreescu, Z.Feng.

(Η πηγή του Αλέξανδρου είναι άλλη).

Στο βιβλίο αυτό υπάρχουν δυο λύσεις. Εν συντομία η δεύτερη έχει ως εξής:

Εστω $(n)_3=a_1a_2\cdots a_{\ell}$ η παράσταση του φυσικού στο σύστημα με βάση το 3.
Τότε με επαγωγή δείχουμε ότι

$f(n)_3=\begin{cases} & 2a_2\cdots a_{\ell} \text{ if } a_1=1 \\ & 1a_2\cdots a_{\ell}0\text{ if } a_1=2 \end{cases}$

Αφού , είναι , κι άρα

$f(2010)=1\cdot 3^2+1\cdot 3^3+2\cdot 3^4+2\cdot 3^6+3^7=3843$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα για την παραπάνω πολύ ενδιαφέρουσα λύση με ενημέρωση και ο Θανάσης (socrates). Υπάρχει στην ιστοσελίδα http://www.imosuisse.ch/skripte/smo/smo ... o2003L.pdf η οποία είναι στα Γερμανικά. Εγώ πήρα το πρόβλημα από το βιβλίο "Functional Equations" του Venkatachala. Η λύση του είναι παρόμοια με εκείνη του Dreamkiller παραπάνω

Αλέξανδρος

Σακης · #63

Ασκηση 25

Να βρεθουν οι συναρτησεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ωστε για καθε $x\in{R}$ να ισχυει:

f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-f(x))

#64

Σακης έγραψε:Ασκηση 25

Να βρεθουν οι συναρτησεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ωστε για καθε $x\in{R}$ να ισχυει:

$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-f(x)),\fbox 1$

βάζοντας

στην $\fbox 1$ παίρνουμε : f(f(0))=f(0)

βάζοντας

στην $\fbox 1$ παίρνουμε : f(f(x))=2x+f(f(0)-f(x))

,από αυτή βλέπουμε ότι η

είναι 1-1 κι έτσι από την προηγούμενη έχουμε: f(0)=0

βάζοντας

στην $\fbox 1$ παίρνουμε : $f(y)=f(f(y))=>f(y)=y,y\in \mathbb R$ η οποία επαληθεύει την αρχική

Σακης · #65

Δεν θα επρεπε η

να ειναι επι για ισχυει το τελευταιο συμπερασμα?

Κώστας Παππέλης · #66

Έχω την αίσθηση ότι είναι μια χαρά. Δηλαδή μία από τις 2 πληροφορίες (επί ή 1-1 φτάνει). Ας με διαψεύσει κάποιος αν κάνω λάθος.

Ο λόγος που το λέω αυτό: Αν είναι επί τότε προφανώς είμαστε εντάξει γιατί αντικαθιστούμε το f(y)

με ένα τυχαίο

.

Αν είναι ένα προς ένα ο ορισμός λέει ότι για κάθε a,b

στο

αν

διάφορο του

τότε

διάφορο του f(b)

. Εδώ έχουμε a=f(y)

και

.

Αν

διάφορο του

για κάποιο

τότε θα έχουμε και f(f(y))

διάφορο του f(y)

. Βέβαια κάποιος θα μπορούσα να ισχυριστεί ότι αφού a=f(y)

τότε το

μπορεί να μην παίρνει όλες τις τιμές. Έστω λοιπόν ότι το

δεν είναι εικόνα της

.

Άρα σίγουρα f(a)

διάφορο του

. Από τον ορισμό της 1-1 όμως θα έχουμε και ότι f(f(a))

διάφορο του f(a)

άτοπο.

Άρα η λύση είναι σωστή.

Σακης · #67

Συγγνωμη, το παιρνω πισω. Για καποιο λογο εκεινη τη στιγμη το μυαλο μου κολλησε ανεπανορθωτα.

mathxl · #68

Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις

: $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την $f(x)+f(y) = f(x\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1+x^{2}})$ για όλους τους παραγματικούς x,y

#69

mathxl έγραψε: 26.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την $f(x)+f(y) = f(x\sqrt{1+y^{2}}+y\sqrt{1+x^{2}})$ για όλους τους παραγματικούς x,y

Θέτουμε $\displaystyle x=\frac{e^k-e^{-k}}{2}$ και $\displaystyle y=\frac{e^l-e^{-l}}{2}$ .

Η δοθείσα γίνεται $\displaystyle f\left(\frac{e^k-e^{-k}}{2}\right)+f\left(\frac{e^l-e^{-l}}{2}\right)=f\left(\frac{e^{k+l}-e^{-(k+l)}}{2}\right) ,\ \forall k,l \in \mathbb{R}$ , οπότε η συνάρτηση $\displaystyle g(x)=f\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right) \ (^*)$ είναι συνάρτηση Cauchy.

Έτσι, λόγω συνέχειας (της

) έχουμε $g(x)=cx, \ x \in \mathbb{R}$ .

Θεωρούμε την $\displaystyle h:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ h(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ οπότε από (^*)

έχουμε

και επειδή η

είναι 1-1 και επί έχουμε τελικά $f(x)=c\cdot h^{-1}(x)=c\cdot arcsinh (x)=c\cdot \ln(x+\sqrt{x^2+1}) (^{**})$ .

Αντίστροφα,όλες οι συναρτήσεις $(^{**})$ επαληθεύουν την αρχική.

#70

Ευχαριστώ για τη συμμετοχή σας, τις λύσεις και τις ιδέες. Φυσικά, κάθε άσκηση είναι καλοδεχούμενη.

27.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(f(x)+y\right)=2x+f\left(f(y)-x\right) }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

28.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(x+y\right)+f\left(x\right)f\left(y\right)=f\left(xy\right)+2xy+1 }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

29.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N^*}\rightarrow \mathbb{N^*}$ τέτοιες ώστε ο αριθμός $\displaystyle { \frac{f(x)+2^y}{x+2^{f(y)}} }$ να είναι ακέραιος για κάθε $x,y \in \mathbb{N^*}$ .

Σακης · #71

Λυση για την 27

Για y=-f(x)

η αρχικη δινει: f(0)=2x+f(f(-f(x))-x)

Απο την παραπανω αποδεικνυεται οτι η

ειναι συναρτηση επι του

.

Αρα η τιμη 0 ανηκει στο συνολο τιμων αρα υπαρχει $w\in{R}$ ωστε f(w)=0

.
Εφαρμοζω την αρχικη για x=w

οποτε προκυπτει: f(y)=2w+f(f(y)-w)

.

Αφου η

ειναι επι του

θετω

οποτε εχουμε f(a)=a-w

για καθε $a\in{R}$ .
Επομενως f(x)=x+c

που αποτελει λυση της αρχικης.

chris · #72

Δείτε και εδώ για την 27.
Είναι πρόβλημα της IMO shortlist του 2002.

Φιλικά

Σακης · #73

Λυση για την 29

για x=y=1

εχουμε: $\displaystyle{2^{f(1)}+1|f(1)+2}$ .

Αρα $2^{f(1)}+1\leq{f(1)+2}\Rightarrow{2^{f(1)}-f(1)-1\leq{0}$ .

Η ισοτητα ισχυει για f(1)=1

. Εστω

.

Θεωρω την $\displaystyle{g(x)=2^x-x-1}$ με x>1

, η οποια αποδεικνυεται οτι ειναι γνησιως αυξουσα
οποτε για $x>1\Rightarrow{g(x)>g(1)=0}$ , ατοπο αρα f(1)=1

.

Για

το

οποτε $f(x)\geq{x}$ .

Για x=1

το $\displaystyle{2^{f(y)}+1|1+2^y}$ αρα $\displaystyle{2^{f(y)}\leq{2^y}\Rightarrow{f(y)\leq{y}}}$ .

Αρα f(x)=x

για καθε $x\in{N^*}$

#74

socrates έγραψε:28.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(x+y\right)+f\left(x\right)f\left(y\right)=f\left(xy\right)+2xy+1 },\fbox 1$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

...μία προσπάθεια
==========================================================
$x=0,y=0,\fbox 1\Longrightarrow f(0)=1 \quad \eta \quad f(0)=-1$
====================================================

Αν f(0)=1

$y=0,x\neq 0 \quad \fbox 1 \Longrightarrow f(x)=1$ ,άρα $f(x)=1,x \in \mathbb R$ η οποία δεν επαληθεύει την αρχική για κάθε $x,y \in \mathbb R$
==============================================

άρα f(0)=-1

$y=-x,\quad \fbox 1 \Longrightarrow f(x)f(-x)=f(-x^2)-2x^2+2,\fbox 2$

$x=1,\quad \fbox 2\Longrightarrow f(-1)=0 \quad \eta \quad f(1)=1$

$y=1,\fbox 1\Longrightarrow f(x+1)+f(x)f(1)=f(x)+2x+1,\fbox 3$

==================================================

για την περίπτωση που f(1)=1

η τελευταία δίνει $f(x+1)=2x+1\rightarrow f(x)=2x-1,x\in \mathbb R$ που επαληθεύει την αρχική

για την περίπτωση που f(-1)=0

$y=-1,\quad \fbox 1\Longrightarrow f(x-1)=f(-x)-2x+1\Longrightarrow$ f(x-1)+(x-1)=f(-x)+(-x)

αν $g(x)=f(x)+x,\quad g(0)=-1,\quad g(-1)=-1$ τότε είναι $g(x-1)=g(-x),x \in \mathbb R$ ...

...

mathxl · #75

30.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:{Q_ + } \to {Q_ + }}$
που ικανοποιούν την
$\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2xyf\left( {xy} \right) = \frac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( {x + y} \right)}}}$

erxmer · #76

Να βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις με F(R)=R ωστε να υπάρχει πεπερασμένο πλήθος πραγματικών χ ώστε F(χ)=0 και
να ισχύει οτι F( x^4+y

)= $x^3F(x)+F(F(y)), \forall x,y\in R$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

YΓ: διορθώθηκε κατοπιν υπόδειξης του socrates στο ακριβέστερο η μετάφραση....finitely many=πεπερασμένο πλήθος

chris · #77

erxmer έγραψε:31) Να βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις με $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ ώστε να υπάρχει αριθμήσιμο πλήθος πραγματικών ώστε και
να ισχύει οτι $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y)), \forall x,y\in \mathbb{R}$ .

Δεν ξέρω αν χάνω κάτι στο δρόμο αλλά νομίζω λογική είναι η πορεία

$f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y)), \forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

H

για

: $\boxed {f(y)=f(f(y)),\forall y\in \mathbb{R}} (2)$

H (1)

για

: $\displaystyle f(1+y)=f(1)+f(f(y)) \stackrel{(2)}=f(1)+f(y)\Rightarrow \boxed {f(1+y)=f(1)+f(y),\forall y \in \mathbb{R}}(3)$

H (3)

για

: $\boxed{f(0)=0}$

H (1)

για

: $f(x^4)=x^3f(x)+f(f(0))\Rightarrow \boxed{f(x^4)=x^3f(x),\forall x \in \mathbb{R}}(4)$

H (1)

λόγω της

γίνεται:
$f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y)\stackrel {(4)}=f(x^4)+f(y)\Rightarrow f(x^4+y)=f(x^4)+f(y),\forall x,y \in \mathbb {R}$
και θέτοντας $x^4=z\geq 0$ παίρνουμε:

$\boxed {f(z+y)=f(z)+f(y),\forall z\geq 0,y \in \mathbb{R}}(*)$

H (*)

για

:

και με τη μέθοδο της επαγωγής εύκολα είναι: $\boxed{f(nz)=nf(z),\forall n \in \mathbb{N},z \in \mathbb{R+}}(5)$

$\bullet$ Έστω οτι υπάρχουν $a,b \in \mathbb{R}$ με $a\neq b$ τέτοια ώστε f(a)=f(b)

Υποθέτουμε δίχως βλάβη της γενικότητας οτι: $a>b\Rightarrow a-b>0$

H (*)

για

: δίνει: $f(a)=f(a-b)+f(b)\Rightarrow f(a-b)=0$
Άρα η (5)

για

δίνει: $f(n(a-b))=0,\forall n \in \mathbb{N}$ το οποίο είναι άτοπο αφού το πλήθος των ριζών της f(x)=x

είναι μετρήσιμο.

Επομένως $\forall a,b \in \mathbb{R}$ με $a\neq b$ είναι $f(a)\neq f(b)$ και τελικά:

λόγω της (2)

: $f(y)=y,\forall y \in \mathbb{R}$ δηλαδή $\boxed{f(x)=x,\forall x \in \mathbb{R}}$ που επαληθεύει την αρχική.

#78

mathxl έγραψε:30.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:{Q_ + } \to {Q_ + }}$ που ικανοποιούν την $\displaystyle{f\left( x \right) + f\left( y \right) + 2xyf\left( {xy} \right) = \frac{{f\left( {xy} \right)}}{{f\left( {x + y} \right)}}}$

Είναι η άσκηση 9.

socrates έγραψε: 9.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}^+$ .

Ας δώσω μια λύση...

Για x=y=1

είναι $\displaystyle {f(2)=\frac{1}{4}}$ .

Για x=y=2

είναι $\displaystyle {f(4)=\frac{1}{16}}$ .

Για x=3,y=1

είναι $\displaystyle {f(1)=9f(3)$ ενώ για x=2,y=1

είναι

.

Λύνοντας το σύστημα έχουμε $\displaystyle {f(1)=1, \ f(3)=\frac{1}{9}}$ .

Για x=1

η αρχική δίνει $\displaystyle { \frac{1}{f(x+1)}-\frac{1}{f(x)}}=2x+1$ .

Αν θέσουμε $\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)}$ και θεωρήσουμε $x \in \mathbb{N^*}$ έχουμε g(x+1)-g(x)=2x+1 (^*)

οπότε λύνοντας την αναδρομική προκύπτει g(x)=x^2

για κάθε θετικό ακέραιο

.

Με παρόμοια λογική (θέτοντας π.χ. διαδοχικά στην (^*)

$x:=x+1, x:=x+2, \cdots , x:=x+n$ και προσθέτοντας ή με επαγωγή στο

), $\displaystyle { g(x+n)=g(x)+2nx+n^2, \ \forall (x,n) \in \mathbb{Q^+} \times \mathbb{N} }$ .

Θέτοντας, τέλος, στην αρχική $\displaystyle {x=\frac{m}{n}, y=n}$ , με m,n

θετικούς ακέραιους έχουμε $\displaystyle {f(\frac{m}{n})+f(n)+2mf(m)=\frac{g(\frac{m}{n}+n)}{g(m)}$
και μετά από πράξεις καταλήγουμε σε $\displaystyle {(x^2f(x)-1)(m^2f(x)+x^2)=0}$ , όπου $\displaystyle {x=\frac{m}{n}}$ .

Τελικά, $\displaystyle {f(x)=\frac{1}{x^2}}$ που επαληθεύει.

Σακης · #79

Ασκηση 32
(απο Baltic Way)

Βρειτε ολες τις $f:R\rightarrow{R}$ τετοιες ωστε να ισχυει

f(x^2)+f(xy)=f(x)f(y)+yf(x)+xf(x+y)

erxmer · #80

Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις ορισμένες στους θετικούς ακέραιους που ικανοποιούν τις σχέσεισ
a) f(x + 22) = f(x)
b) f(x^2y) = (f(x))^2f(y)

για ολούς τους θετικούς ακέραιους x και y.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Μέλη σε σύνδεση