πλήν επί πλήν ίσον...

[irakleios]

Υπάρχει κάποιος τρόπος να λύσουμε την απορία παιδιών γυμνασίου γιατί πλήν επί πλήν ίσον σύν;

1) (-α) + α = α + (-α) = 0
(-α) +(-(-α)) = 0 και επειδή ο αντίθετος είναι μοναδικός έπεται: -(-α) = α

2) α(β + γ) = αβ + αγ θέτουμε α = γ = -1 και β = + 1

3) ναι στο όχι θα πεί όχι
όχι στο ναι θα πεί όχιι.

αυτές είναι κάποιες πιθανές εξηγήσεις... Υπάρχουν άλλες; Πιο ωραίες ας πούμε;

[linda]

1. μπορουμε να πουμε οτι (-)*(-)= (-)^2 και κατι που ειναι υψωμενο στο τετραγωνο δινει παντα +

2. εστω οτι εχουμε να βρουμε το (-2)*(-6)
μπορουμε να εξηγησουμε οτι αυτο το - μπροστα από τον αριθμό το ερμηνεύουμε ως εντολη για αλλαγη κατευθυνσης.
σχεδιαζουμε την ευθεια των αριθμων και αν ειμαστε στο -2 σημαινει να παμε 2 βηματα πισω, οποτε φτανουμε στο 0 και τωρα αυτη τη ποσοτητα βηματων(δηλ. μετρωντας καθε φορα 2 βηματα),θα την επαναλαβω 6 φορες προς τα δεξια. ετσι φτανουμε στο +12 (αν μετρησουμε ολα τα βηματα που καναμε προς τα δεξια.)

[Γιώργος Ρίζος]

Αγαπητέ Ηράκλειε,

Χρησιμοποιώ συνήθως κάποια πρακτικά παραδείγματα που "εξηγούν" τον κανόνα, προσπαθώντας να τον προσαρμόσω σε καθημερινές καταστάσεις, όπως π.χ.

Kef7.png (129.5 KiB) Προβλήθηκε 29447 φορές

Επίσης, η τεχνική του προηγούμενου βιβλίου της Β΄ Γυμνασίου, όπου παρουσιάζει τους πολλαπλασιασμούς σε στήλη διαδοχικά:

3·(-5) = -15
2·(-5) = -10
1·(-5) = -5
0·(-5) = 0
(-1)·(-5) = ....

Παρατηρώντας ότι σε κάθε σκαλί ανεβαίνουμε 5, είναι "λογικό" το γινόμενο (-1)·(-5)
να ισούται με 5 κ.ο.κ.

Γιώργος Ρίζος

Τώρα που το σκέφτομαι, ΠΡΕΠΕΙ να το έχουμε ξανασυζητήσει (και να έχουμε ξαναγράψει τα ίδια)... Θυμάται κανείς;

[Μιχάλης Νάννος]

Όντως Γιώργο έχει ξανασυζητηθεί εδώ.

Άσχετο: Κάτι δεν πάει καλά με το ρολόι του (δείχνει την παλιά ώρα).

[irakleios]

Αγαπητέ Ηράκλειε,

Χρησιμοποιώ συνήθως κάποια πρακτικά παραδείγματα που "εξηγούν" τον κανόνα, προσπαθώντας να τον προσαρμόσω σε καθημερινές καταστάσεις, όπως π.χ.

Kef7.png

Επίσης, η τεχνική του προηγούμενου βιβλίου της Β΄ Γυμνασίου, όπου παρουσιάζει τους πολλαπλασιασμούς σε στήλη διαδοχικά:

3·(-5) = -15
2·(-5) = -10
1·(-5) = -5
0·(-5) = 0
(-1)·(-5) = ....

Παρατηρώντας ότι σε κάθε σκαλί ανεβαίνουμε 5, είναι "λογικό" το γινόμενο (-1)·(-5)
να ισούται με 5 κ.ο.κ.

Γιώργος Ρίζος

Τώρα που το σκέφτομαι, ΠΡΕΠΕΙ να το έχουμε ξανασυζητήσει (και να έχουμε ξαναγράψει τα ίδια)... Θυμάται κανείς;

Πολύ ωραία τα παραδείγματά σας !!!

[irakleios]

1. μπορουμε να πουμε οτι (-)*(-)= (-)^2 και κατι που ειναι υψωμενο στο τετραγωνο δινει παντα +

αν είναι έτσι τότε πως εξηγούμε ότι κάτι που είναι υψωμένο στο τετράγωνο δίνει πάντα + ;

[m.pαpαgrigorakis]

Μια ακόμα προσπάθεια "ερμηνείας" των κανόνων των προσήμων, με χρήση της κίνησης
Συμφωνούμε ότι κίνηση προς τα δεξιά του άξονα των πραγματικών είναι θετική και προς τα αριστερά αρνητική.
Μπορούμε να δημουργήσουμε παραδείγματα της μορφής:

Ένας άνθρωπος (σημείο) κινείται προς τα αριστερά του άξονα, με ταχύτητα πχ 1 χιλιόμετρο ανά ώρα και τώρα βρίσκεται στην αρχή του άξονα, που βρισκόταν πριν από 1 μία ώρα.

Ο μαθητής «λογικά» και όχι δύσκολα ανακαλύπτει ότι η θέση του ήταν στο ένα

Επομένως (-1)(-1)=1 κλπ

Μίλτος

[linda]

Αγαπητε Ηρακλειε, το 2. που σου εδωσα σε ικανοποιει?

[irakleios]

Αγαπητε Ηρακλειε, το 2. που σου εδωσα σε ικανοποιει?

Aγαπημένη linda το 2 με ικανοποιεί...ευχαριστώ πολύ

[Μπάμπης Στεργίου]

Έστω ότι έχεις τον πολλαπλασμό .

Αν το ''συν'' σημαίνει κέρδος και το ''πλην '' σημαίνει χρέος,

τότε ο πολλαπλασιασμός αυτός σημαίνει ότι έχεις 2 γραμμάτια των 3 ευρώ, δηλαδή χρωστάς 6 ευρώ, που το γράφεις .

Αν έχεις τώρα τον πολλαπλασιασμό , τότε είναι σαν να σου χαρίζει η τράπεζα τα

2 γραμμάτια, δηλαδή έχεις κέρδος 6 ευρώ. Επομένως

Πηγή :

Ιαν Στιουαρτ : Γράμματα σε μια νεαρή μαθηματικό.

Μπάμπης

[bilstef]

Διαβάστε περισσότερα: http://www.tovima.gr/default.asp?pid=2& ... z112h7lVGT
Τι γίνεται όμως με τον πολλαπλασιασμό (-4)x(-5); Τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, πολλαπλασιασμένα με πέντε βήματα προς τα αριστερά; Και αυτό να δίνει είκοσι βήματα προς τα δεξιά; Στα παιδιά, και σε οποιονδήποτε έχει ρωτήσει και πολύ δικαιολογημένα: «Πες μου πώς γίνεται;» θα μπορούσαμε, βάζοντας στην άκρη αξιωματικούς ορισμούς και μηχανιστικές αποδείξεις, να εξηγήσουμε ότι αυτό το πλην μπροστά από έναν αριθμό μπορεί απλά να το ερμηνεύσουμε και ως εντολή να αλλάξουμε κατεύθυνση. Αν δηλαδή είμαστε επάνω στην ευθεία,4 σημαίνει να πάμε τέσσερα βήματα προς τα πίσω. Πολλαπλασιασμένο αυτό επί-5 σημαίνει αυτή την ποσότητα βημάτων να την επαναλάβουμε πέντε φορές σε αντίθετη κατεύθυνση. Πόσα βήματα έχουμε κάνει προς τα δεξιά; +20. Ελπίζω να υπάρχουν αντιρρήσεις και γι΄ αυτήν ακόμη την απόδειξη.

Αν δεν υπάρχουν, τις παρουσιάζω εγώ. Εδώ ο ένας αριθμός συμβιβάζεται με την έννοια των βημάτων, αλλά ο άλλος αριθμός αλλάζει φύση και μας δείχνει απλά επανάληψη, πόσες φορές. Αυτό δεν το είχαμε στην πρόσθεση όπου και οι δύο αριθμοί δείχνουν αριθμό βημάτων. Πρόκειται βέβαια για τις δυσκολίες που συναντάς προσπαθώντας να εξηγήσεις μακριά από τους αυστηρούς ορισμούς τους τα πράγματα. Μπλεχτήκαμε όμως οικειοθελώς με αυτό, θέλοντας να δείξουμε μέσα από πόσες δυσκολίες και αντιφάσεις οι άνθρωποι κατάφεραν να δημιουργήσουν εργαλεία που τους εξυπηρετούν, αν και τους δημιουργούν προβλήματα (η Κβαντομηχανική είναι ένα άλλο τεράστιο παράδειγμα). Κάποτε, μεγάλοι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν καν την ύπαρξη αρνητικών αριθμών, διότι δεν χωρούσε στο μυαλό τους ότι ένας αριθμός μπορούσε να είναι μικρότερος από το... τίποτα.

Διαβάστε περισσότερα: http://www.tovima.gr/default.asp?pid=2& ... z112hHSngS
ΜΗΧΑΝΙΣΤΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ «ΠΛΗΝ ΕΠΙ ΠΛΗΝ ΚΑΝΕΙ ΣΥΝ»
Δεν είναι ακριβώς 1) Από την επιμεριστική ιδιότητα έχουμε: α* (β+γ)= α*β+α*γ.Αν βάλουμε όπου α και γ το-1 και όπου β το +1 προκύπτει: (1)*(1+(-1))= (-1)*1+(-1)*(-1) και στη συνέχεια (-1)*(0)=-1+(-1)*(1) για να καταλήξουμε στην 0=1+(-1)*(-1),άρα αν έλθει αριστερά το-1 θα γίνει +1, οπότε: 1= (1)*(-1),δηλαδή το γινόμενο των δύο αρνητικών έδωσε θετικό αποτέλεσμα.

2) Ο πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό είναι ως γνωστόν επανειλημμένες προσθέσεις,ενώ με αρνητικό αριθμό μπορεί να εκληφθεί και σαν επανειλημμένες αφαιρέσεις,άρα:

(-3)*(-4)= 0- (-4)-(-4)-(-4)= 12 3) (-α) + (-(-α))= 0.Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το α: α+(-α) + ((-α))= α και αυτό δίνει:

0 + (-(-α))= α άρα (-(-α))= α
http://users.sch.gr/geoman22/a-gym/a-7-5-ask.htm
α/α Ερώτηση Α Β
1 Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου, ο συμπαίκτης (+) του αντιπάλου μου (-) είναι; συμπαίκτης μου (+) αντίπαλος μου (-)
2 Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου, ο συμπαίκτης (+) του συμπαίκτη μου (+) είναι; συμπαίκτης μου (+) αντίπαλος μου (-)
3 Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου, ο αντίπαλος (-) του συμπαίκτη μου (+) είναι; συμπαίκτης μου (+) αντίπαλος μου (-)
4 Σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου, ο αντίπαλος (-) του αντιπάλου μου (-) είναι; συμπαίκτης μου (+) αντίπαλος μου (-)
5 Το γινόμενο δυο αρνητικών αριθμών είναι; θετικός αριθμός αρνητικός αριθμός
6 Το γινόμενο δυο ετερόσημων αριθμών είναι; θετικός αριθμός αρνητικός αριθμός
7 Το γινόμενο ενός αρνητικού αριθμού με ένα θετικό αριθμό είναι; θετικός αριθμός αρνητικός αριθμός
8 Το γινόμενο δυο θετικών αριθμών είναι; θετικός αριθμός αρνητικός αριθμός
9 Το γινόμενο δυο ομόσημων αριθμών είναι; θετικός αριθμός αρνητικός αριθμός
10 Το γινόμενο ενός θετικού αριθμού με έναν αρνητικό αριθμό είναι; θετικός αριθμός αρνητικός αριθμός
..........................................................................................................................................
ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ



1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη διδασκαλία των πράξεων των ακεραίων στηρίζονταν στο τυπικό μοντελοποιημένο πλαίσιο του σχολικού βιβλίου. Ουδέποτε οι μαθητές αναρωτήθηκαν ή αναζήτησαν περισσότερα πράγματα από όσα τους έδινα.
Φέτος διδάσκω το θέμα αυτό στο Β΄ έτος του ΣΔΕ Ιωαννίνων, σε ανθρώπους ενήλικες, όπου το μοντελοποιημένο, φορμαλιστικό, αποδεικτικό πρότυπο δεν τους ικανοποιεί.
Οι ενήλικες είναι σαν την παιδική ψυχή, που αναζητά το γιατί, θέλοντας να στηρίξει τη γνώση που προέρχεται απ’ όσα βλέπει, ακούει, αισθάνεται. Άρα, μια μέθοδος που θα ερευνά και θα ανακαλύπτει το γιατί, που θα οδηγεί στα θεμέλια της γνώσης, θα την θεμελιώνει και θα κάνει τον μαθητή ικανό να μην την ξεχνά εύκολα, να μην την μπερδεύει και κυρίως να νιώθει σιγουριά, είναι απαίτηση του εκπαιδευόμενου και ζητούμενο του εκπαιδευτικού.
Ανέτρεξα, λοιπόν, στη βιβλιογραφία Διδακτικής των Μαθηματικών και κατέληξα σε εναλλακτικούς τρόπους παρουσίασης και διδακτικής προσέγγισης του αντικειμένου.
Θεώρησα καλό να γράψω όλα αυτά ως υλικό, για όσους συναδέλφους θα ήθελαν να το συμβουλευτούν.


1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Ο Πρώσος μαθηματικός του 19ου αιώνα Leopold Kronecker είπε ότι: «Οι Φυσικοί αριθμοί είναι δώρο του Θεού προς τους ανθρώπους, όλα τα υπόλοιπα, είναι κατασκευάσματα των ανθρώπων.» Όσο και αν δε θελήσουμε να δεχτούμε τη θεϊκή καταγωγή των μαθηματικών, δε θα μπορέσουμε να αρνηθούμε την αδυναμία μας να περιγράψουμε με φυσικούς αριθμούς όλα τα μεγέθη και φαινόμενα της ανθρώπινης καθημερινότητας.
Η άνεση, η ευχέρεια και εξοικείωση του δασκάλου των μαθηματικών με τους αρνητικούς αριθμούς, δε θα πρέπει να τον οδηγήσει στην παράβλεψη των δυσκολιών της διδασκαλίας τους στο σχολικό επίπεδο. Η παράγραφος αυτή αποδεικνύει, ότι αυτός ο οποίος έχει κατανοήσει τα μαθηματικά δεν είναι κατ΄ ανάγκη σε θέση και να τα διδάξει.
Ο καλύτερος τρόπος για να εξηγήσει κανείς στους μαθητές τις δυσκολίες που εμφανίζονται στους αρνητικούς αριθμούς, είναι εκείνος που βοηθά να κατανοήσουν σε βάθος μια μαθηματική έννοια. Η Γενετική- Ιστορική μέθοδος δηλαδή, που εξετάζει την έννοια στα διάφορα στάδια ανάπτυξης και εξέλιξής της.

1.3 ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Η πάλη των ιδεών γύρω από τη σημασία των αρνητικών αριθμών και ο αγώνας για την τελική της επικράτηση με τη σημερινή τους μορφή, καθυστέρησε το εννοιολογικό τους ξεκαθάρισμα και δυσκόλεψε τα πράγματα.
Περισσότερα από 1.500 χρόνια χρειάστηκαν, από την εποχή του Διόφαντου, μέχρι να θεωρηθούν οι κανόνες των προσήμων ως αποδεκτοί και να νομιμοποιηθούν (Arcaviet et al. 1982, Hefendehl- Hebeker 1991)
Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, επηρεασμένοι από την Πλατωνική αντίληψη γεωμετροποίησης των μαθηματικών, γνώριζαν μεν τους αρνητικούς αριθμούς, αλλά θεωρούσαν αδύνατη κάθε εξίσωση με αρνητικές ρίζες.
Ο Διόφαντος (250 μ.Χ) εξηγούσε το « αρνητικό» σαν «αυτό που υπολείπεται».
Οι Κινέζοι χρησιμοποιούσαν ένα υπολογιστικό μηχάνημα στο οποίο οι αριθμητικές σειρές ήταν χρωματισμένες κόκκινες και μαύρες για να ξεχωρίζουν τους θετικούς από τους αρνητικούς αριθμούς.
Οι Ινδοί από τον 7ο αιώνα, φαίνεται να χρησιμοποιούν τους αρνητικούς, σε εμπορικά προβλήματα με έλλειμμα. Δεν χρησιμοποιούσαν το – στους αρνητικούς, αλλά τον αριθμό μέσα σε κύκλο π.χ. ©= -C
Άραβας μαθηματικός του 9ου αιώνα, τοποθετούσε τον κύκλο πάνω από τον αριθμό.
Μέχρι το 15ο αιώνα- αρχές του 16ου, πολλοί Ευρωπαίοι μαθηματικοί, αρνούνται να δεχθούν τους αρνητικούς αριθμούς. Οι αρνητικοί αρχίζουν να κερδίζουν την εμπιστοσύνη των μαθηματικών από τις εργασίες του Albert Girard (1629). Αντιφάσεις και σύγχυση επικρατούσε όμως κατά τον 17ο και 18ο αιώνα από πολλούς μαθηματικούς. Τον 19ο αιώνα δόθηκε η πραγματική εξήγηση των ιδιοτήτων των αρνητικών.

1.4 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Αν θέλουμε να κατανοήσουμε και ερμηνεύσουμε την έκφραση < κάτω από το μηδέν> θα μπορούσαμε να σκεφτούμε τη <σκάλα> των ακεραίων.


Ομοίως αν συνεχίσουμε τον άξονα- αριθμογραμμή των Φυσικών αριθμών προς τα αριστερά του μηδενός, θα έχουμε τον άξονα των ακεραίων


Η απόσταση κάθε αριθμού από το μηδέν ονομάζεται απόλυτη τιμή και είναι πάντα θετικός αριθμός.


1.5 ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ





ΑΦΑΙΡΕΣΗ

Αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι και ο μειωτέος μεγαλύτερος από τον αφαιρετέο, τότε είναι σαν να αφαιρούμε από έναν αριθμό απόλευκά ή μαύρα τόσα όσα δηλώνει ο αφαιρετέος.

Αφαίρεση ετεροσήμων αριθμών, π.χ. (-5) – (+4)




ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Γινόμενο ετεροσήμων αριθμών π.χ (-3). (+2)

Α΄ ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ



Β΄ ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟΥ

Δίνεται το παρακάτω πρότυπο

Παράγοντες Γινόμενο
3.2 6
2.2 4
1.2 2
0.2 0
-1.2 ?
-2.2 ?
-3.2 ?

Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι, όταν ο πολλαπλασιαστής ελαττώνεται κατά μια μονάδα κάθε φορά, το γινόμενο ελαττώνεται κατά 2 μονάδες. Έτσι, λογικά, μετά το 0 θα πάει στο -2, -4. -6
Έτσι (-3). (+2) = -6 Επομένως το γινόμενο ετεροσήμων είναι αρνητικός αριθμός.



Γινόμενο αρνητικών αριθμών π.χ (-3)* (-2)

Α΄ ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ









Β΄ ΤΡΟΠΟΣ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΠΡΟΤΥΠΟΥ

Παράγοντες Γινόμενο
3.(-2) -6
2.(-2) -4
1.(-2) -2
0.(-2) 0
-1.(-2) ?
-2.(-2) ?
-3.(-2) ?

Οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν ότι, όταν ο πολλαπλασιαστής ελαττώνεται κατά μια μονάδα κάθε φορά, το γινόμενο αυξάνει κατά 2 μονάδες. Έτσι, λογικά, μετά το 0 θα πάει στο 2, 4. 6
Έτσι (-3). (-2) = 6 Επομένως το γινόμενο αρνητικών είναι θετικός αριθμός.

Γ΄ ΤΡΟΠΟΣ : ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

μ
α

β


Αν πολ/σουμε το διάνυσμα μ με το (-3) παίρνουμε το διάνυσμα
α= (-3) μ. Αν τώρα πολ/σουμε το α με το (-2) παίρνουμε το β=(-2)α=(-2).(-3)μ, έχει την φορά του μ και είναι, όπως φαίνεται, εξαπλάσιο του, δηλαδή β=6μ και συνεπώς (-2).(-3)=6




Δ΄ ΤΡΟΠΟΣ: Η < ΕΞ ΟΡΙΣΜΟΥ > ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ


Οι κανόνες προσήμων δίνονται εξ ορισμού ως:
(+ ).(+)=(+), (-).(-)=(+),
(-).(+)=(-), (+).(-)=(-)

Η μέθοδος αυτή δεν πείθει τον μαθητή, γι’ αυτό ο δάσκαλος καταφεύγει πολλές φορές σε κάποια παραδείγματα μοντέλων φυσικής ερμηνείας, όπως:

Παράδειγμα 1ο
Συμβολίζω με ( +) τον φίλο και με (-) τον εχθρό, οπότε:
Ο φίλος του φίλου= φίλος δηλαδή (+ ).(+)=(+)
Ο φίλος του εχθρού= εχθρός δηλαδή (+).(-)=(-)
Ο εχθρός του φίλου= εχθρός δηλαδή (-).(+)=(-)
Ο εχθρός του εχθρού= φίλος δηλαδή (-).(-)=(+)

Παράδειγμα 2ο

Συμβολίζω με (+) το άνοιγμα του καταστήματος και το κέρδος, και με (-) το κλείσιμο και τη ζημία, οπότε:
Αν ένα κατάστημα κάθε μέρα που είναι ανοιχτό, έχει ζημία 300 ευρώ τότε αν κλείσει 3 μέρες θα έχει κέρδος 900 ευρώ δηλαδή:
(-300).(-3)=(+900)










1.6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΠΟΛΥΔΟΥΡΗΣ, Β. (1995). Η Αριθμητική των ακεραίων. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αφοι Κυριακίδη ΑΕ.

ΤΟΥΜΑΣΗΣ, ΜΠ. (1994). Σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών. Εκδόσεις Gutenberg.

ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙΔΗΣ, Α. ΤΡ. και ΣΔΡΟΛΙΑΣ, Α.Κ. (2000). Βασικές μαθηματικές έννοιες για τον εκπαιδευτικό της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης. Αθήνα: Εκδόσεις Τυπωθήτω.

ΧΑΛΑΤΣΗΣ, Α. (1990). Αριθμητική. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Ζήση.

Κέντρο Έρευνας Επιστήμης και εκπαίδευσης (2001). Ευκλείδη στοιχεία, Τόμοι Ι, ΙΙ , και ΙΙΙ. Αθήνα
http://www.eled.uowm.gr/mathslife/arxei ... ithmoi.htm

[bilstef]

Δείτε και εδώ
http://mathforum.org/library/drmath/view/57865.html
και εδώ
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.negxneg.html
και εδώ
http://mathforum.org/library/drmath/view/51925.html
και εδώ
http://www.physicsforums.com/showthread ... 312&page=2
και εδώ
http://www.answerbag.com/q_view/511491

[irakleios]

Σας ευχαριστώ όλους πάρα πολύ!!! Ιδιαιτέρως τον κ. Στεφανίδη !!!