Εφαπτόμενοι κύκλοι

#1

Ένα τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $\Omega$ . Στην πλευρά $B\Gamma$ παίρνουμε σημείο $\Delta$ . Ένας κύκλος με κέντρο

εφάπτεται με τα τμήματα $A\Delta,\DeltaB$ και με τον κύκλο $\Omega$ στο $\Sigma$ (το $\Sigma$ είναι σημείο του $\Omega$ ). Ένας άλλος κύκλος με κέντρο $\Lambda$ εφάπτεται με τα τμήματα $A\Delta,\Delta \Gamma$ και με τον κύκλο $\Omega$ στο

. Αν

είναι το έγκεντρο του τριγώνου $AB\Gamma$ , να αποδειχθεί ότι τα σημεία $K,\Lambda,I$ είναι συνευθειακά.

ΣΧΟΛΙΟ

Έχω μερικές δυσκολίες με αυτή την άσκηση και θέλω να βρω την πιο καλή αντιμετώπιση.Αν βρείτε χρόνο και την κοιτάξετε, θα χαρώ να στείλτε τις λύσεις σας(θα τις συμπεριλάβω επώνυμα στο δεύτερο τόμο, αλλά και στον 1ο , αν βρεθεί λύση με ύλη που φτάνει μέχρι τα εγγράψιμα).Έκανα και ένα σχήμα με το geogebra, για να δω αν τα καταφέρνω. Αλλά κουράστημα αρκετά .Δεν έχω μαζί μου στο Σχολείο το Cabri, οπότε ...καλά να πάθω !

Μπάμπης

#2

Πρόκειται για το θεώρημα Thebault και η απόδειξή του δεν είναι εύκολη . Πέρσι είχα κάνει δύο αποδείξεις για το θεώρημα : Η μία κάνει χρήση βαρυκεντρικών συντεταγμένων και η άλλη είναι στοιχειώδης και κάνει χρήση ομοιων τριγώνων . Παραθέτω τη δεύτερη λύση μου

#3

Χαρις στον Σιλουανο και σε μια διαδικτυακη αναζητηση βρηκα καποιες πληροφοριες για το εν λογω θεωρημα σε αρθρο του Forum Geometricorum (2003) το οποιο επισυναπτω. Η πιο ισως σημαντικη πληροφορια ειναι οτι ο πρωτος ανακαλυψας το θεωρημα (1905) ηταν ενας Γιαπωνεζος μαθηματικος, ο Υ. Sawayama.

Γιωργος Μπαλογλου

#4

gbaloglou έγραψε:Χαρις στον Σιλουανο και σε μια διαδικτυακη αναζητηση βρηκα καποιες πληροφοριες για το εν λογω θεωρημα σε αρθρο του Forum Geometricorum (2003) το οποιο επισυναπτω. Η πιο ισως σημαντικη πληροφορια ειναι οτι ο πρωτος ανακαλυψας το θεωρημα (1905) ηταν ενας Γιαπωνεζος μαθηματικος, ο Υ. Sawayama.

Γιωργος Μπαλογλου

Κύριε Μπαλόγλου !

Καταρχήν να σας ευχαριστήσω και γω με τη σειρά μου για την τόσο χρήσιμη και δημιουργική σας παρουσία στη λέσχη μας.Είναι τιμή να σας έχουμε κοντά μας . Η αγάπη εκ μέρους μας για το πρόσωπό σας , να το ξέρετε, είναι δεδομένη όπως και η αναγνώρισηγια για την προσφορά σας στα μαθηματικά και τη μαθηματική κοινότητα γενικότερα. Να είστε γερός και πάντα εφευρετικός σε ό,τι κάνετε !

Λοιπόν, και ....να σκεφτείτε ότι έλεγα μέσα μου : τι θυμίζει αυτό το πρόβλημα !!!Διότι το άρθρο που επισυνάψατε το είχα διαβάσει πριν καναδυό χρόνια !!! Αυτά τα θέματα με τον mixtilinear circle , όπως τα αποκαλούν , έχουν δυσκολίες. Κάπου έτρεχε το μυαλό μου και σε κάτι θεωρήματα των τριών - πέντε - έξι κύκλων(δεν θυμάμαι πια πόσοι είναι οι κύκλοι !) , αλλά αν κάτι δεν το σημειώσεις την ώρα που το βρίσκεις, μετά άντε να το βρεις !
Έχω κάνει μια σχετική πρόοδο στην άσκηση αυτή, με ομοιοθεσία όμως , και μετά τις παρεμβάσεις σας ελπίζω να την ολοκληρώσω.Θα τα ξαναπούμε.

Σας ευχαριστώ και σας και το Σιλουανό για τη βοήθειά σας .

Μπάμπης

#5

Ας δούμε μία απλή απόδειξη του θεωρήματος Sawayama - Thebault, ως εφαρμογή του Λήμματος 1 στο οποίο αναφέρθηκε ο Σιλουανός πιο πάνω.

$\bullet$ Με βάση το Λήμμα 1, επειδή το έγκεντρο

του $\bigtriangle ABC$ , ανήκει ευθείες $EE^{\prime},\ FF^{\prime},$ συμπεραίνουμε ότι $I\equiv EE^{\prime}\cap FF^{\prime}$ .

Από $DO_{1}\perp DO_{2}$ και $DO_{2}\perp FF^{\prime}$ , προκύπτει ότι $FF^{\prime}\parallel DO_{1}$ και ομοίως έχουμε $EE^{\prime}\parallel DO_{2}.$

Έτσι, με βάση το Λήμμα 2 στο τραπέζιο $EO_{1}O_{2}F$ , συμπεραίνουμε ότι το $I\equiv EE^{\prime}\cap FF^{\prime}$ ανήκει στην ευθεία $O_{1}O_{2}$ και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ και έστω , τυχόν σημείο επί της πλευράς του Θεωρούμε τον κύκλο $(O_{1})$ , ο οποίος εφάπτεται εσωτερικά στον περίκυκλο του $\bigtriangleup ABC$ και στις ευθείες $BC,\ AD,$ στα σημεία $E,\ E^{\prime}$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία $EE^{\prime}$ περνάει από το έγκεντρο του $\bigtriangleup ABC.$

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τραπέζιο με $AD\parallel BC$ και έστω , τυχόν σημείο επί της πλευράς του Δια των $A,\ B$ , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις $EC,\ ED$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι το σημείο , τομής των ευθειών αυτών, κείται επί της πλευράς

$\bullet$ Για το Λήμμα 1, θα έχει ενδιαφέρον αν μπορεί να βρεθεί κάποια απόδειξη, απλούστερη από αυτήν που δίνει ο Jean-Louis Ayme στο άρθρο του Forum Geometricorum.

$\bullet$ Για το Λήμμα 2, με βάση το θεώρημα Θαλή, η απόδειξη είναι πολύ απλή και προκύπτει εύκολα από το σχήμα.

Κώστας Βήττας.

#6

vittasko έγραψε:Ας δούμε μία απλή απόδειξη του θεωρήματος Sawayama - Thebault, ως εφαρμογή του Λήμματος 1 στο οποίο αναφέρθηκε ο Σιλουανός πιο πάνω.

$\bullet$ Με βάση το Λήμμα 1, επειδή το έγκεντρο του $\bigtriangle ABC$ , ανήκει ευθείες $EE^{\prime},\ FF^{\prime},$ συμπεραίνουμε ότι $I\equiv EE^{\prime}\cap FF^{\prime}$ .

Από $DO_{1}\perp DO_{2}$ και $DO_{2}\perp FF^{\prime}$ , προκύπτει ότι $FF^{\prime}\parallel DO_{1}$ και ομοίως έχουμε $EE^{\prime}\parallel DO_{2}.$

Έτσι, με βάση το Λήμμα 2 στο τραπέζιο $EO_{1}O_{2}F$ , συμπεραίνουμε ότι το $I\equiv EE^{\prime}\cap FF^{\prime}$ ανήκει στην ευθεία $O_{1}O_{2}$ και η πρόταση έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ 1. - Δίνεται τρίγωνο $\bigtriangleup ABC$ και έστω , τυχόν σημείο επί της πλευράς του Θεωρούμε τον κύκλο $(O_{1})$ , ο οποίος εφάπτεται εσωτερικά στον περίκυκλο του $\bigtriangleup ABC$ και στις ευθείες $BC,\ AD,$ στα σημεία $E,\ E^{\prime}$ , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία $EE^{\prime}$ περνάει από το έγκεντρο του $\bigtriangleup ABC.$

ΛΗΜΜΑ 2. - Δίνεται τραπέζιο με $AD\parallel BC$ και έστω , τυχόν σημείο επί της πλευράς του Δια των $A,\ B$ , φέρνουμε τις παράλληλες ευθείες προς τις $EC,\ ED$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι το σημείο , τομής των ευθειών αυτών, κείται επί της πλευράς

$\bullet$ Για το Λήμμα 1, θα έχει ενδιαφέρον αν μπορεί να βρεθεί κάποια απόδειξη, απλούστερη από αυτήν που δίνει ο Jean-Luis Ayme στο άρθρο του Forum Geometricorum.

$\bullet$ Για το Λήμμα 2, με βάση το θεώρημα Θαλή, η απόδειξη είναι πολύ απλή και προκύπτει εύκολα από το σχήμα.

Κώστας Βήττας.

Κώστα , ευχαριστώ !

να σκεφτείς ότι έπεσα στο θέμα αυτό , μελετώντας σε ένα αγγλόφωνο βιβλίο τα θέματα ΙΜΟ - 1969.Εκεί έβαλαν την ίδια άσκηση , μόνο που το τρίγωνο ήταν ορθογώνιο στο Α και η ΑΔ ήταν ύψος. Αυτό φυσικά απλοποιούσε τα πραγματα. Στο τέλος μιας λύσης δίνονταν και αυτή η γενίκευση(Thelbaut) με μια υπόδειξη που ακόμα ...δεν τελείωσα!

Χαίρομαι όμως που πέσαμε τελικά σε σπουδαίο θεώρημα, οπότε κάτι θα μας μείνει.

Χρόνια πολλά για τη μέρα και καλή Ανάσταση σε όλους !

Μπάμπης

parmenides51 · #7

Μια λύση έχει δοθεί και στο περιοδικό Μαθηματική Έκφραση (#4 2002) από τους Δημήτρη Κοντοκώστα και Γιώργο Δήμο.

KARKAR · #8

Πληροφορίες και εδώ.

Σχετικό θέμα εκεί

Εφαπτόμενοι κύκλοι

Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Re: Εφαπτόμενοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση