Συνάρτηση με ακέραιο και δεκαδικό μέρος.

#1

Δίδεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {\left[ x \right]} + \sqrt {\left\{ x \right\}} }}{{\sqrt x }}}$ , με $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right)}$ , όπου $\displaystyle{\left[ x \right],\left\{ x \right\}}$ ακέραιο και δεκαδικό μέρος του

αντίστοιχα. Να υπολογιστούν:

α) Το $\displaystyle{\min \left( {f\left( x \right),x > 0} \right)}$
β) Το $\displaystyle{\sup \left( {f\left( x \right),x > 0} \right)}$

Υπάρχει το $\displaystyle{\max \left( {f\left( x \right),x > 0} \right)?}$

#2

Μια απόπειρα:

Για το minimum:

Επειδή έχουμε $\displaystyle{x=[x]+\left\{x\right\} }$ ,

είναι $\displaystyle{f(x)\geq 1}$ , με την ισότητα να ισχύει αν-ν $\displaystyle{([x]=0 \Leftrightarrow x\in (0,1))}$ ή $\displaystyle{(\left\{x\right\}=0\Leftrightarrow x\in \mathbb{Z_{+}}).}$

Για το supremum:

Από την ανισότητα $\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}}$ , στην οποία η ισότητα ισχύει μόνο όταν $\displaystyle{a=b}$ , βρίσκουμε

$\displaystyle{f(x)\leq \frac{\sqrt{2([x]+\left\{x\right\})}}{\sqrt{x}}=\sqrt{2}.}$

Ωστόσο, εδώ η ισότητα δε μπορεί να ισχύει αφού δεν ισχύει ποτέ η $\displaystyle{[x]=\left\{x\right\}}$

Ισχύει δηλαδή $\displaystyle{f(x)<\sqrt{2}.}$ Την τιμή $\displaystyle{\sqrt{2}}$ μπορούμε να την προσεγγίσουμε με τους όρους της ακολουθίας $\displaystyle{a_{n}}$ με $\displaystyle{a_{1}=1,9 \ \ a_{2}=1,99, \ \ a_{3}=1,999}$ κ.τ.λ.

#3

Κάπως διαφορετικά ..

Αρχικά παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{x \in \left( {0,1} \right)}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {\left[ x \right]} + \sqrt {\left\{ x \right\}} }}{{\sqrt x }} = \frac{{0 + \sqrt x }}{{\sqrt x }} = 1}$ .

Θα μελετήσουμε την συμπεριφορά της συνάρτησης στο διάστημα $\displaystyle{{D_n} = {\left[ {n,n + 1} \right)_{n = 1,2,3,..}}}$ .

Στο $\displaystyle{{D_n}:f\left( x \right) = \frac{{\sqrt n + \sqrt {x - n} }}{{\sqrt x }} \Rightarrow .. \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt n \cdot \left( {\sqrt n - \sqrt {x - n} } \right)}}{{2 \cdot x \cdot \sqrt x \cdot \sqrt {x - n} }} > 0}$ . Τότε $\displaystyle{f\left( {{D_n}} \right) = \left[ {f\left( n \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {n + 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)} \right) = \left[ {1,\frac{{\sqrt n + 1}}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }}}$ με $\displaystyle{x \geqslant 1}$ είναι γνησίως φθίνουσα, διότι $\displaystyle{g'\left( x \right) = \frac{{1 - \sqrt x }}{{2 \cdot x \cdot \sqrt x \cdot \sqrt {x + 1} }} < 0}$ για $\displaystyle{x > 1}$ .

Άρα η ακολουθία $\displaystyle{{a_n} = \frac{{\sqrt n + 1}}{{\sqrt {n + 1} }}}$ είναι γνησίως φθίνουσα, επομένως $\displaystyle{\min \left\{ {f\left( x \right),x > 0} \right\} = 1}$ και $\displaystyle{\sup \left\{ {f\left( x \right),x > 0} \right\} = \frac{{\sqrt 1 + 1}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 }$ .

Προφανώς $\displaystyle{\max \left\{ {f\left( x \right),x > 0} \right\}}$ δεν υπάρχει.

Συνάρτηση με ακέραιο και δεκαδικό μέρος.

Συνάρτηση με ακέραιο και δεκαδικό μέρος.

Re: Συνάρτηση με ακέραιο και δεκαδικό μέρος.

Re: Συνάρτηση με ακέραιο και δεκαδικό μέρος.

Μέλη σε σύνδεση