Υπαρξη σημείων

erxmer · #1

Θεωρούμε συνάρτηση f δις παρ/μη στο [a,b]. Nα δειχθεί οτι υπάρχουν k,l στο (a,b) ωστε

$f(l)-f(a)\frac{b-l}{b-a}-f(b)\frac{l-a}{b-a}-\frac{1}{2}(l-a)(l-b)f''(k)=0$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

k-ser · #2

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle h(x)= f(x)-f\left(x+\frac{b-a}{2} \right), \ \ \ x \in \left[a,\frac{a+b}{2} \right]$ .

Από το Θ.Μ.Τ. , για την

υπάρχει $\displaystyle \xi \in \left(a,\frac{a+b}{2} \right)$ τέτοιο ώστε:
.................
$\displaystyle f^{\prime} \left(\xi+\frac{b-a}{2}\right)-f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)+f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\frac{b-a}{2}}$

Από το Θ.Μ.Τ. , για την $f^{\prime}$ υπάρχει $\displaystyle k \in \left(\xi,\xi+\frac{b-a}{2} \right)$ τέτοιο ώστε:

$\displaystyle \frac{b-a}{2}\cdot f^{\prime}^{\prime}(k) =....=\frac{f(b)+f(a)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right)}{\frac{b-a}{2}}$ .

Για $\displaystyle l=\frac{a+b}{2}$ η τελευταία ισότητα γράφεται:

$\displaystyle \frac{b-a}{2}\cdot f^{\prime}^{\prime}(k) =\frac{f(b)-f(l)}{b-l}-\frac{f(l)-f(a)}{l-a}$

και η οποία, (αν δεν έχω κάνει λάθος με τις πράξεις), είναι ισοδύναμη με την

$\displaystyle f(l)-f(a)\frac{b-l}{b-a}-f(b)\frac{l-a}{b-a}-\frac{1}{2}(l-a)(l-b)f^{\prime}^{\prime}(k)=0$

Υπαρξη σημείων

Υπαρξη σημείων

Re: Υπαρξη σημείων

Μέλη σε σύνδεση