Φυσικοί αριθμοί

nicolae · #1

Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x,y

για τους οποίους είναι:
$\displaystyle\frac{1}{x+2010}+\frac{2011}{y+2011}=1$ και $x-y\geq1$

#2

Αν χ-ψ=1 τότε αντικαθιστώντας στην εξίσωση όπου χ=ψ+1, εύκολα προκύπτει ψ=1, αρα χ=2.
Έστω πως χ-ψ>1, τότε έχουμε:
$\displaystyle{\displaystyle \frac{1} {{x + 2010}} = 1 - \frac{{2011}} {{\psi + 2011}} \Leftrightarrow \frac{1} {{x + 2010}} = \frac{\psi } {{\psi + 2011}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow \psi \left( {x + 2009} \right) = 2011 }$ .
Όμως το 2011 είναι πρώτος και ψ, χ+2009 φυσικοί. Αρα ψ=1, χ+2009=2011 ή ψ=2011 και χ+2009=1 δηλαδή
ψ=1, χ=2 που λόγω της συνθήκης το απορρίπτουμε, αλλά και ψ=2011 και χ=-2008 απορρίπτεται.
Αρα δεχόμαστε απο την πρώτη περίπτωση χ=2,ψ=1.
Ελπίζω χωρίς λάθος!(το διόρθωσα)

mathfinder · #3

Καλησπέρα
Επισυνάπτω μία λύση για την παραπάνω εξίσωση. Νομίζω ότι έχει μοναδική λύση την (x,y)=(2,1) .
Καλή Μ. Εβδομάδα .

#4

chris_gatos έγραψε: $\frac{1} {{x + 2010}} = 1 - \frac{{2011}} {{\psi + 2011}} \Leftrightarrow \frac{1} {{x + 2010}} = \frac{\psi } {{\psi + 2011}} \Leftrightarrow .... \Leftrightarrow \psi \left( {x + 2009} \right) = 2011$ .

Νίκο, αν η άσκηση διατυπωθεί χωρίς την δεύτερη συνθήκη, ζητώντας δηλαδή "να βρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις της πρώτης εξίσωσης", η μέθοδος του Χρήστου τις δίνει.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#5

Μιχάλη, νομίζω πως είμαι οκ, γιατί το κοίταξα πολλές φορές. Θα το ξαναδώ όμως...

fmak65 · #6

κυριε Λαμπρου ο chris -gatos το εχει σωστα γιατι 1/(χ+2010) = ψ/(ψ+2011) με χιαστι δινει 1*(ψ+2011) = ψ*(χ+2010) <=> ψ+2011 = ψ*χ+ψ*2010 <=> 2011 = ψ*χ +ψ*2010 - ψ <=> 2011 = ψ*χ +ψ*2009 <=> 2011 = ψ*(χ+2009)

#7

fmak65 έγραψε:κυριε Λαμπρου ο chris -gatos το εχει σωστα γιατι 1/(χ+2010) = ψ/(ψ+2011) με χιαστι δινει 1*(ψ+2011) = ψ*(χ+2010) <=> ψ+2011 = ψ*χ+ψ*2010 <=> 2011 = ψ*χ +ψ*2010 - ψ <=> 2011 = ψ*χ +ψ*2009 <=> 2011 = ψ*(χ+2009)

Έχεις δίκιο. Ευχαριστώ για την διόρθωση. Δε είδα (!) ότι το 2010 έγινε 2009. Ζητώ συγνώμη από τον Χρήστο.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Φυσικοί αριθμοί

Φυσικοί αριθμοί

Re: Φυσικοί αριθμοί

Re: Φυσικοί αριθμοί

Re: Φυσικοί αριθμοί

Re: Φυσικοί αριθμοί

Re: Φυσικοί αριθμοί

Re: Φυσικοί αριθμοί

Μέλη σε σύνδεση