Τετράγωνο και κυρτά πολύγωνα.

#1

Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς 100

μονάδων, τοποθετούμε 730

κυρτά πολύγωνα, με ή χωρίς αλληλοεπικάλυψη, εμβαδού $\displaystyle{{E_k} \leqslant 3}$ και περιμέτρου $\displaystyle{{P_k} \leqslant 7}$ , για κάθε $\displaystyle{k = 1,2,3,..,730}$ . Να αποδειχθεί ότι στο εσωτερικό του τετραγώνου υπάρχει κύκλος ακτίνας r=1

, που να μην τέμνει κανένα από τα πολύγωνα.

#2

Σεραφείμ έγραψε:Στο εσωτερικό ενός τετραγώνου πλευράς μονάδων, τοποθετούμε κυρτά πολύγωνα, με ή χωρίς αλληλοεπικάλυψη, εμβαδού $\displaystyle{{E_k} \leqslant 3}$ και περιμέτρου $\displaystyle{{P_k} \leqslant 7}$ , για κάθε $\displaystyle{k = 1,2,3,..,730}$ . Να αποδειχθεί ότι στο εσωτερικό του τετραγώνου υπάρχει κύκλος ακτίνας , που να μην τέμνει κανένα από τα πολύγωνα.

Πάρα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα. Ευχαριστούμε Σεραφείμ.

Λύση:

Είναι γνωστό και εύκολο να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του χωρίου A_k

που αποτελείται από σημεία τα οποία απέχουν το πολύ 1 από το E_k

είναι $E_k + P_k\cdot 1 + \pi\cdot 1^2 = 10+\pi$ .

Τώρα, 730 τέτοια έχουν συνολικό εμβαδόν $\le 730(10+\pi) <98^2$ .

Με άλλα λόγια τα A_k

χωράνε σε ένα τετράγωνο με α) πλευρές παράλληλες του αρχικού β) βρισκόμενο μέσα του και γ) οι πλευρές του είναι σε απόσταση 1 από τις πλευρές του αρχικού.

Παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο μέσα σε αυτό το 98x98 τετράγωνο που δεν καλύφθηκε από τα παραπάνω χωρία A_k

. Προφανώς ο κύκλος με κέντρο αυτό το σημείο και ακτίνα 1 ικανοποιεί τα α) βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο αρχικό τετράγωνο και β) δεν τέμνει τα δοθέντα πολύγωνα. ο.ε.δ.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Επί το αναλυτικότερον .. δεν φαντάζομαι να υπάρχει και άλλη λύση, πέραν αυτής του Μιχάλη, που τον ευχαριστούμε πολύ.

«Φουσκώνουμε» το κάθε πολύγωνο προς τα έξω κατά 1, στρογγυλεύοντας τις γωνίες του (όπως στο σχήμα).

: Τετράγωνο-Πολύγωνα.jpg (12.68 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές

Τότε αν κάποιος κύκλος ακτίνας $\displaystyle{r = 1}$ , έχει το κέντρο του έξω από όλα τα «φουσκωμένα» πολύγωνα, δεν θα τέμνει κανένα από τα αρχικά. Επειδή θέλουμε ο κύκλος να είναι στο εσωτερικό του τετραγώνου, θα πρέπει να αποδείξουμε ότι, όπως κι’ αν τοποθετήσουμε τα «φουσκωμένα» πολύγωνα μέσα σ’ ένα τετράγωνο πλευράς 98 μονάδων (συμπιέζουμε τις διαστάσεις του αρχικού κατά μια μονάδα προς τα μέσα), πάντα θα υπάρχουν σημεία που δεν θα ανήκουν σε κανένα «φουσκωμένο» πολύγωνο. Επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι το άθροισμα των εμβαδών των «φουσκωμενων» πολυγώνων είναι μικρότερο από $\displaystyle{{98^2}}$ .

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{{E_k}}$ το εμβαδόν του $\displaystyle{k - th}$ πολυγώνου, $\displaystyle{{P_k}}$ την περίμετρό του και $\displaystyle{{\varphi _k}}$ το εμβαδόν του «αντίστοιχου «φουσκωμενου πολυγώνου. Το εμβαδόν κάθε κυκλικού τομέα, γωνίας $\displaystyle{{\omega _i}}$ , θα είναι $\displaystyle{\frac{1}{2} \cdot {1^2} \cdot {\omega _i} = \frac{1}{2} {\omega _i}}$ .
Τότε για το κ-«φουσκωμένο» πολύγωνο ισχύει $\displaystyle{{\varphi _k} = {E_k} + \sum\limits_{i = 1}^k {{\varepsilon _i}} + \frac{1}{2} \sum\limits_{i = 1}^k {{\omega _i}} = {E_k} + \sum\limits_{i = 1}^k {1 \cdot {\lambda _i}} + \frac{1}{2} \sum\limits_{i = 1}^k {{\omega _i}} = {E_k} + {P_k} + \frac{1}{2} \sum\limits_{i = 1}^k {{\omega _i}} }$ .
Όμως $\displaystyle{{\hat \omega _i} = \pi - {\hat A_i} \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^k {{\omega _i}} = n \pi - \sum\limits_{i = 1}^k {{{\hat A}_i}} = n \pi - \left( {n - 2} \right) \pi = 2 \pi }$ .
Άρα $\displaystyle{{\varphi _k} = {E_k} + {P_k} + \pi \Rightarrow {\varphi _k} \leqslant 10 + \pi }$ και $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^{730} {{\varphi _k}} \leqslant 730 \left( {10 + \pi } \right) \approx 9593,4 < 9604 = {98^2}}$ , επομένως θα προκύψουν «ακάλυπτα σημεία, τα οποία αν είναι κέντρα κύκλων ακτίνας $\displaystyle{r = 1}$ , οι κύκλοι αυτοί δεν θα τμήσουν κανένα πολύγωνο.

Τετράγωνο και κυρτά πολύγωνα.

Τετράγωνο και κυρτά πολύγωνα.

Re: Τετράγωνο και κυρτά πολύγωνα.

Re: Τετράγωνο και κυρτά πολύγωνα.

Μέλη σε σύνδεση