Βρείτε το εμβαδόν (8)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με $\widehat \Gamma = {120^ \circ }$ . Αν η διάμεσος ΓΔ είναι κάθετη στην πλευρά ${\rm B}\Gamma = 8$ βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΓΔ.

: area8.png (30.46 KiB) Προβλήθηκε 1351 φορές

#2

ας κάνω την αρχή

φέρω ύψος ΑΖ
Δ-μέσο ΑΒ,ΓΔ//ΑΖ=> Γ-μέσο ΒΖ=>ΓΖ=8
στο ορθογώνιο ΑΓΖ, γων.ΓΑΖ=30=>ΑΓ=16
με νόμο συνημιτόνων στο ΑΒΓ βρίσκουμε AB^2=448

με Π.Θ στο ΑΒΖ=> $AZ=8\sqrt 3$
$(AB\Gamma)=32\sqrt 3=>(A\Gamma \Delta)=16\sqrt 3$

fmak65 · #3

Φέρουμε ΑΕ κάθετη στην ΒΓ και το τρίγωνο ΑΕΒ ειναι ορθογώνιο.ΔΕ = ΔΒ ως διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου. Οπότε το τρίγωνο ΒΔΕ ισοσκελές και προφανώς ΔΓ ύψος και διάμεσος, άρα ΕΓ =ΒΓ = 8. Το τρίγωνο ΓΑΕ είναι ορθογώνιο και η γωνία ΑΓΕ 60 μοίρες ως παραπληρωματικής της δοθείσας Γ = 120 μοιρών. Άρα η γωνία ΓΑΕ 30 μοίρες και το ΓΑ = 2*ΓΕ = 16.
Από Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι η ΑΕ =8* ριζα(3). ¨Ομως ΑΕ ύψος του αρχικού τριγώνου ΑΒΓ οπότε το εμβαδόν του είναι 32*ρίζα(3). Το ΔΓ είναι διάμεσος του ΑΒΓ , άρα το εμβαδόν του ΒΓΔ είναι το μισό του αρχικού ΑΒΓ , δηλαδή είναι 16*ριζα(3).
Βλέπω με πρόλαβε η συνονόματη μου , αλλά επειδή το έγραψα και είναι διαφορετική λύση την καταθέτω.

#4

θα μπορούσαμε να αποφύγουμε τις πράξεις
έχουμε ΓΖ=8,ΑΓ=16
με την εφαπτομένη της γων.ΓΑΖ βρίσκουμε το ΑΖ και στη συνέχεια το εμβαδόν του ΑΓΖ που είναι διπλάσιο του ζητούμενου

p_gianno · #5

(ΑΓΔ)=(ΔΓΒ) διότι ΒΔ=ΔΑ και έχουν επιπλέον κοινό ύψος συνεπώς 2(ΑΓΔ)=2(ΔΓΒ) --- > 8 ∙χ=β ∙ χ ημ(ΔΓΒ) --- > β=16
Όμως

$\displaystyle{(B\Gamma A) = \frac{1}{2}\,\,a\,b\,\,\sin {120^0} = \frac{1}{2} \cdot \,8\, \cdot 16\,\cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 32\sqrt 3 \,\, \to \,\,\left( {B\Gamma \Delta } \right) = 16\sqrt 3 }$

#6

Για την ποικιλία των λύσεων, άλλη μία αντιμετώπιση:

Αν Ε είναι το συμμετρικό του Γ ως προς Δ και Μ το μέσο της ΑΓ, το τρίγωνο ΑΕΜ είναι ισόπλευρο πλευράς ΑΕ=ΒΓ=8 και έχει εμβαδόν ίσο με το ζητούμενο, καθώς και τα δύο έχουν το μισό εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΑΕΓ.

Ενδιαφέρουσα και διδακτική άσκηση για τη Β Λυκείου και νομίζω την έχουμε καλύψει από πολλές πλευρές.

Βρείτε το εμβαδόν (8)

Βρείτε το εμβαδόν (8)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (8)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (8)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (8)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (8)

Re: Βρείτε το εμβαδόν (8)

Μέλη σε σύνδεση