Εύρεση ορίου

erxmer · #1

Aν $x_{0}\in(0, 1]$ και $x_{n+1} = x_{n}-\arcsin(\sin^3 x_{n})$ , n $\geq$ 0. Nα υπολογιστεί το όριο $\lim_{n\rightarrow \infty}{\sqrt{n}x_{n}}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Το ζητούμενο όριο είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.}$

Αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{{\sin }^2}{x_n}}}}}{n} = 2.}$

Θα χρησιμοποιήσουμε το Κριτήριο Cesaro-Stolz (γνωστό και ως διακριτή εκδοχή του κανόνα L' Hospital):

Έστω $\displaystyle{\left( {{a_n}} \right)}$ και $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών τέτοιες, ώστε η $\displaystyle{\left( {{b_n}} \right)}$ να είναι θετική, αύξουσα και μη φραγμένη. Αν υποθέσουμε ότι

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_{n + 1}} - {a_n}}}{{{b_{n + 1}} - {b_n}}} = \ell, }$

τότε είναι και

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}} = \ell .}$

Θα εφαρμόσουμε το κριτήριο Cesaro-Stolz με
$\displaystyle{{a_n} = \frac{1}{{{{\sin }^2}{x_n}}}}$ και $\displaystyle{{b_n} = n.}$

Θεωτούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = x - \arcsin \left( {{{\sin }^3}x} \right),}$ οπότε είναι $\displaystyle{{x_{n + 1}} = f\left( {{x_n}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{n.}$

Παρατηρούμε ότι για $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ είναι $\displaystyle{0 < \sin x < 1}$ και άρα $\displaystyle{0 < {\sin ^3}x < \sin x < 1.}$ Εφόσον η συνάρτηση $\displaystyle{\arcsin }$ είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι $\displaystyle{0 < \arcsin \left( {{{\sin }^3}x} \right) < \arcsin \left( {\sin x} = x \right), }$
από όπου προκύπτει ότι $\displaystyle{0 < f\left( x \right) < x}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).}$

Εφόσον $\displaystyle{{x_0} \in \left( {0,1} \right] \subset \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)}$ έχουμε επαγωγικά ότι $\displaystyle{0 < {x_{n + 1}} = f\left( {{x_n}} \right) < {x_n}}$ για κάθε $\displaystyle{n.}$ Άρα η ακολουθία $\displaystyle{\left( {{x_n}} \right)}$ είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη, άρα συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{k \in \left[ {0,1} \right].}$ Από τη συνέχεια της $\displaystyle{f}$ θα είναι $\displaystyle{k = f\left( k \right)}$ , οπότε $\displaystyle{\sin k = 0}$ και άρα

$\displaystyle{k = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = 0.}$

Υπολογίζουμε τώρα ότι

$\displaystyle{\sin {x_{n + 1}} = \sin \left( {{x_n} - \arcsin \left( {{{\sin }^3}{x_n}} \right)} \right) = \sin {x_n}\cos \left( {\arcsin \left( {{{\sin }^3}{x_n}} \right)} \right) - {\sin ^3}{x_n}\cos {x_n} = \sin {x_n}\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {\sin ^3}{x_n}\cos {x_n}}$

και άρα

$\displaystyle{\frac{1}{{{{\sin }^2}{x_{n + 1}}}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}{x_n}}} = \frac{{{{\sin }^2}{x_n} - {{\sin }^2}{x_{n + 1}}}}{{{{\sin }^2}{x_{n + 1}} \cdot {{\sin }^2}{x_n}}} = \frac{{{{\sin }^2}{x_n} - {{\left( {\sin {x_n}\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\sin }^3}{x_n}\cos {x_n}} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}{x_n} \cdot {{\left( {\sin {x_n}\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\sin }^3}{x_n}\cos {x_n}} \right)}^2}}} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{1 - {{\left( {\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\sin }^2}{x_n}\cos {x_n}} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}{x_n} \cdot {{\left( {\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\sin }^2}{x_n}\cos {x_n}} \right)}^2}}} = \frac{{{{\sin }^6}{x_n} + 2\cos {x_n}{{\sin }^2}{x_n}\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\cos }^2}{x_n}{{\sin }^4}{x_n}}}{{{{\sin }^2}{x_n} \cdot {{\left( {\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\sin }^2}{x_n}\cos {x_n}} \right)}^2}}} = }$

$\displaystyle{\frac{{{{\sin }^4}{x_n} + 2\cos {x_n}\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\cos }^2}{x_n}{{\sin }^2}{x_n}}}{{{{\left( {\sqrt {1 - {{\sin }^6}{x_n}} - {{\sin }^2}{x_n}\cos {x_n}} \right)}^2}}} \to 2,}$

και το συμπέρασμα έπεται από το κριτήριο Cesaro-Stolz.

#3

Μια ακόμα λύση με μέθοδο που έχω κάνει και σε άλλες παρόμοιες ασκήσεις και δίνει ενιαία αντιμετώπιση :

Αρχικά όπως έδειξε ο Βαγγέλης η $x_{n}$ φθίνει στο

.

Χρησιμοποιούμε ότι $\sin x=x-x^3/6+\mathcal O(x^5)=\sin^{-1}x$ καθώς $x\to0$ .

Αφού λοιπόν είναι $x_{n}\to0$ , για μεγάλο

έχουμε

$\displaystyle{\sin^{-1}(\sin^3x_{n})=\sin^{-1}\left(x_{n}-\frac{x_{n}^3}{6}+\mathcal O(x_{n}^5)\right)^3=\sin^{-1}\left(x_{n}^3-\frac{x_{n}^5}{2}+\mathcal O(x_{n}^7)\right)=x_{n}^3-\frac{x_{n}^5}{2}+\mathcal O(x_{n}^7)}$ .

Αναζητούμε $a\in\mathbb Z^*$ με $x_{n+1}^a-x_{n}^a\to\ell\in\mathbb R^*$ για να μπορέσουμε να κάνουμε μια πρώτη προσσέγγιση για την $x_{n}$ .

Έχουμε λοιπόν

$\displaystyle{x_{n+1}^a-x_{n}^a=\left(x_{n}-\sin^{-1}(\sin^3 x_{n})\right)^a-x_{n}^a=\left(x_{n}-x_{n}^3+\frac{x_{n}^5}{2}+\mathcal O(x_{n}^7)\right)^a-x_{n}^a=}$

$\displaystyle{x_{n}^a\left[\left(1-x_{n}^2+\frac{x_{n}^4}{2}+\mathcal O(x_{n}^6)\right)^a-1\right]\stackrel{(*)}{=}x_{n}^a\left(-ax_{n}^2+\frac{a+a(a-1)}{2}x_{n}^4+\mathcal O(x_{n}^6)\right)=-ax_{n}^{a+2}+\frac{a+a(a-1)}{2}x_{n}^{a+4}+\mathcal O(x_{n}^{a+6})\qquad(1)}$ .

Για a=-2

η

θα δώσει

$\displaystyle{x_{n+1}^{-2}-x_{n}^{-2}=2+2x_{n}^2+\mathcal O(x_{n}^4)\qquad (2)}$ ,

οπότε $\displaystyle{x_{n+1}^{-2}-x_{n}^{-2}\to2}$ .

Έπεται ότι για μεγάλο

θα είναι $\displaystyle{x_{n+1}^{-2}-x_{n}^{-2}>1}$ οπότε αθροίζοντας την ανισότητα για

διαδοχικούς όρους θα πάρουμε $x_{n}^{-2}>n$ άρα $x_{n}^2=\mathcal O(1/n)$ .

Με αυτή την πρώτη εκτίμηση η (2)

θα δώσει $\displaystyle{x_{n+1}^{-2}-x_{n}^{-2}=2+\mathcal O(1/n^2)}$ .

Αθροίζοντας τώρα την ισότητα για

διαδοχικούς όρους όπου

μεγάλο παίρνουμε $\displaystyle{x_{n}^{-2}=2n+\mathcal O(1)}$ (αφού η $\sum1/k^2$ συγκλίνει), οπότε

$\displaystyle{x_{n}^2=\frac{1}{2n}+\mathcal O(1/n^2)}$ .

Με τη δεύτερη αυτή εκτίμηση η (2)

θα δώσει

$\displaystyle{x_{n+1}^{-2}-x_{n}^{-2}=2+\frac{1}{n}+\mathcal O(1/n^2)}$ και αθροίζοντας πάλι θα πάρουμε $\displaystyle{x_{n}^{-2}=2n+\ln n+\mathcal O(1)}$ , οπότε

$\displaystyle{x_{n}=\frac{1}{(2n)^{1/2}}-\frac{\ln n}{2^{5/2}n^{3/2}}+\mathcal O(1/n^{3/2})}$ .

Η τελευταία σχέση δίνει την επιπλέον πληροφορία ότι $\displaystyle{\left(\sqrt{n}x_{n}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\frac{n}{\ln n}\to-2^{-5/2}}$ καθώς και τρόπο που τείνει η κάθε ποσότητα στο σντίστοιχο όριο.

________________________________________________________________________________________________

(*)

Από το δυωνυμικό ανάπτυγμα.

Εύρεση ορίου

Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Μέλη σε σύνδεση