Εξισώσεις

erxmer · #1

Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις

1. $(x-1)^4=\frac{11x-17}{6x-17}$

2. $\frac{1}{2-\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=4x-16, x\in Q$

3. (2x-1)(3x-1)(4x-1)(12x-1)=66

Νασιούλας Αντώνης · #2

Για την 1η:

$x\neq \frac{17}{6}$
$(x-1)^4=\frac{11x-11-6}{6x-6-11}=\frac{11(x-1)-6}{6(x-1)-11} (1)$
Θέτω x-1=y και από την (1) έχω:
$y^4=\frac{11y-6}{6y-11}\Leftrightarrow 6y^5-11y^4-11y+6=0$
Με σχήμα Horner για τη ρίζα -1 γίνεται:
(y+1)(6y^4-17y^3+17y^2-17y+6)=0

Πάλι με σχήμα Ηorner για την δεύτερη παρένθεση και για τη ρίζα 2 γίνεται:
(y+1)(y-2)(6y^3-5y^2+7y-3)=0

Πάλι με σχήμα Horner για την τρίτη παρένθεση και για τη ρίζα 1/2 γίνεται:
$(y+1)(y-2)(y-\frac{1}{2})2(3y^2-y+3)=0\Leftrightarrow y=-1,y=2,y=\frac{1}{2}$
Άρα έχουμε:
$y=-1\Leftrightarrow x-1=-1\Leftrightarrow x=0$
ή $y=2\Leftrightarrow x-1=2\Leftrightarrow x=3$
ή $y=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-1= \frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$
Όλες δεκτές.
Αντώνης

Νασιούλας Αντώνης · #3

Για την 3:

$(2x-1)\cdot \frac{3}{2}(2x-\frac{2}{3})2(2x-\frac{1}{2})6(2x-\frac{1}{6})=66 (1)$
Θέτω 2x-1=y: και η (1) γίνεται:
$y\frac{3}{2}(y+\frac{1}{3})2(y+\frac{1}{2})6(y+\frac{5}{6})=66\Leftrightarrow \frac{11}{3}= y(y+\frac{2}{6})(y+\frac{3}{6})(y+\frac{5}{6})=y(y+\frac{5}{6})(y+\frac{2}{6})(y+\frac{3}{6}) =(y^2+\frac{5}{6}y)(y^2+\frac{5}{6}y+\frac{1}{6})(2)$
Θέτω $y^2+\frac{5}{6}y=z$ και η (2) γίνεται:
$z(z+\frac{1}{6})=\frac{11}{3}\Leftrightarrow z^2+\frac{1}{6}z-\frac{11}{3}=0, \Delta = \frac{23}{36}, z=\frac{-\frac{1}{6}\pm \frac{23}{6}}{2}\Leftrightarrow z=-2,z=\frac{11}{6}$
$z=-2\Leftrightarrow y^2+\frac{5}{6}y+2=0, \Delta <0$
$z=\frac{11}{6}\Leftrightarrow y^2+\frac{5}{6}y-\frac{11}{6}=0\Leftrightarrow y=-\frac{11}{6},y=1$
$y=-\frac{11}{6}\Leftrightarrow 2x-1=-\frac{11}{6}\Leftrightarrow 2x=-\frac{5}{6}\Leftrightarrow x=-\frac{5}{12}$
$y=1\Leftrightarrow 2x-1=1\Leftrightarrow x=1$
Άρα τελικά x=1 ή x=-5/12

Ελπίζω να μην ξέφυγε κάτι.
Αντώνης

Νασιούλας Αντώνης · #4

Για τη 2η:
$x\le 4$ . H x = 4 είναι προφανής ρίζα. Έστω x < 4 ρητή ρίζα.
Θέτω
$\sqrt{4-x}=y,y> 0$ :
$\frac{1}{2-y}-\frac{1}{2+y}=-4y^2\Leftrightarrow \frac{2y}{4-y^2}=-4y^2\Leftrightarrow 2y=-16y^2+4y^4\Leftrightarrow 4y^4-16y^2-2y=0\Leftrightarrow 2y^4-8y^2-y=0\Leftrightarrow y(2y^3-8y-1)=0\Leftrightarrow 2y^3-8y-1=0(1)$
Αυτή δεν έχει ρητή ρίζα. Από την άλλη
$2y^4-8y^2-y=0\Leftrightarrow y= 2y^4-8y^2= 2(4-x)^2-8(4-x)= 2x^2-8x (2)$ που είναι ρητός αφού το x είναι ρητός. Άτοπο.
Άρα ο x άρρητος και η εξίσωση δεν έχει άλλη ρίζα στο Q πλην της x = 4

Αντώνης

Εξισώσεις

Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Re: Εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση