Η 100στη άσκηση

Ιστοσελίδα · #1

Σε επικοινωνία που είχα σήμερα με τον Γιώργο Ρίζο, συνειδητοποίησα ότι έχω ανεβάσει 99 ασκήσεις (στην κατηγορία: βρείτε τη(ν)/το γωνία, πλευρά, εμβαδόν, λόγο, κ.λ.π.).

Έτσι ανεβάζω την 100στη άσκηση με το παραδοσιακό Χριστουγεννιάτικο δέντρο (Χρήστο Τσιφάκη περιμένουμε τα μελομακάρονα…

) και την αφιερώνω στο συμφοιτητή μου Λευτέρη Πρωτοπαπά για την αυριανή ονομαστική του εορτή.

Σας ευχαριστώ όλους θερμά για τα 2 χρόνια διαδικτυακής παρέας.

Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνω σημείο Ε, τέτοιο ώστε ${\rm A}\widehat {\rm E}\Delta = {90^ \circ }$ . Προεκτείνω την πλευρά ΑΕ και έστω Ζ το σημείο τομής με τη ΓΔ. Αν $\left( {\Gamma {\rm Z}{\rm E}} \right) = 6\tau .\mu .$ και $\left( {\Delta {\rm Z}{\rm E}} \right) = 12\tau .\mu .$ βρείτε:
1) Την πλευρά του τετραγώνου
2) Το άθροισμα: ${\rm B}{\rm E} + {\rm E}\Gamma$ .

: 100.jpg (97.05 KiB) Προβλήθηκε 1814 φορές

A.Spyridakis · #2

1) $\displaystyle \frac{(\Delta EZ)}{(EZ\Gamma)}=2 \Rightarrow \frac{\Delta Z}{Z \Gamma}=2 \Rightarrow \Delta Z = 2Z\Gamma$ δηλ. αν ΖΓ = x, τότε ΔΖ=2x και ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ=ΔΑ=3x.
Όμως $\displaystyle A \Delta Z \sim \Delta E Z \Rightarrow \frac{\Delta E}{EZ}= \frac{A \Delta}{\Delta Z}=\frac{3}{2} \ \ (1)$
Επίσης $\displaystyle \frac{\Delta E \cdot EZ}{2}=12 \ \ (2)$
Από $(1),\ \ (2) \Rightarrow \Delta E = 6, \ \ EZ =4$ και με Πυθαγόρειο στο ΔΕΖ βρίσκουμε $x=\sqrt{13}$ , οπότε $\boxed {A \Delta = 3\sqrt{13}}$

2) $\displaystyle (\Delta E Z )=12 \Rightarrow \frac{\Delta Z \cdot EH}{2}=12 \Rightarrow \frac{2\sqrt{13} \cdot EH}{2}=12 \Rightarrow EH = \frac{12}{\sqrt{13}}= K \Gamma$
Έτσι, από Πυθαγόρειο στο ΔΕΗ βρίσκουμε $\displaystyle \Delta H = \frac{18}{\sqrt{13}} \Rightarrow H \Gamma = 3\sqrt{13}- \frac{18}{\sqrt{13}} = \frac{21}{\sqrt{13}}=EK$
και με 2 Πυθαγορειάκια στα ΕΚΓ, ΕΒΚ βρίσκουμε $\boxed{BE + E\Gamma = 3\sqrt{5}(1+\sqrt{2}}$

Υ.Γ. Ουφ! Ελπίζω να μην έκανα λάθος στις πράξεις!
Υ.Γ. 2 Είμαι σίγουρος ότι υπάρχει και πιο σύντομος δρόμος!

#3

Μιχάλη, να τις χιλιάσεις. Οι όμορφες ασκήσεις όμορφα λύνονται.
Αντώνη, δεν πρέπει να πήρες λάθος δρόμο, αφού κι εγώ απ' άλλο δρόμο στο ίδιο αποτέλεσμα έφτασα. Πάντως πιο σύντομο δεν βρήκα.

: 14-12-2010 Geometry.png (78.66 KiB) Προβλήθηκε 1676 φορές

Έστω α η πλευρά του τετραγώνου.
Τότε, επειδή (ΔΕΖ) = 2(ΕΖΓ) κι έχουν κοινό ύψος, είναι ΔΖ = 2 ΖΓ, άρα $\displaystyle \Delta {\rm Z} = \frac{{2\alpha }}{3},\;\Gamma {\rm Z} = \frac{\alpha }{3}$ .

Προεκτείνουμε την ΑΖ ώστε να τέμνει την προέκταση της ΒΓ στο Κ.

Τα ΓΖΚ, ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο $\displaystyle \frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{1}{3}$ , οπότε: $\displaystyle \Gamma {\rm K} = \frac{\alpha }{2},\;\Gamma {\rm Z} = \frac{\alpha }{3}\; \Rightarrow \;{\rm Z}{\rm K} = \sqrt {\frac{{\alpha ^2 }}{4} + \frac{{\alpha ^2 }}{9}} = \frac{{\alpha \sqrt {13} }}{6}\;\kappa \alpha \iota \;\left( {\Gamma {\rm Z}{\rm K}} \right) = \frac{{\alpha ^2 }}{{12}}$

Τα ΔΕΖ, ΓΖΚ είναι όμοια με λόγο
$\displaystyle \frac{{{\rm Z}{\rm K}}}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{\sqrt {13} }}{4} \Rightarrow \frac{{\left( {\Gamma {\rm Z}{\rm K}} \right)}}{{\left( {\Delta {\rm E}{\rm Z}} \right)}} = \frac{{13}}{{16}} \Rightarrow \frac{{\alpha ^2 }}{{12}} = \frac{{13}}{{16}} \cdot 12 \Rightarrow \alpha ^2 = \frac{{13 \cdot 144}}{{16}} \Rightarrow \alpha = 3\sqrt {13}$

Φέρνουμε ΕΗ κάθετη στη ΔΓ και ΕΘ κάθετη στη ΒΓ.
Τότε $\displaystyle \left( {\Delta {\rm E}\Gamma } \right) = \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot {\rm E}{\rm H} \Rightarrow {\rm E}{\rm H} = \frac{{36}}{{3\sqrt {13} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {13} }}$

Τα ΘΕΚ, ΓΖΚ είναι όμοια με λόγο $\displaystyle \frac{{\Gamma {\rm K}}}{{\Theta {\rm K}}} = \frac{{\frac{{3\sqrt {13} }}{2}}}{{\frac{{63}}{{2\sqrt {13} }}}} = \frac{{13}}{{21}}\; \Rightarrow \;\frac{{{\rm Z}\Gamma }}{{{\rm E}\Theta }} = \frac{{13}}{{21}}\; \Rightarrow \;{\rm E}\Theta = \frac{{21}}{{13}} \cdot \sqrt {13} = \frac{{21}}{{\sqrt {13} }}$

Από Πυθ. Θεώρημα: $\displaystyle {\rm E}\Gamma ^2 = {\rm E}\Theta ^2 + \Theta \Gamma ^2 = \frac{{441}}{{13}} + \frac{{144}}{{13}} = \frac{{585}}{{13}} = 45 \Rightarrow \;{\rm E}\Gamma = 3\sqrt 5$

και $\displaystyle {\rm E}{\rm B}^2 = {\rm B}\Theta ^2 + \Theta {\rm E}^2 = \frac{{729}}{{13}} + \frac{{441}}{{13}} = \frac{{1.170}}{{13}}90 \Rightarrow \;{\rm E}{\rm B} = 3\sqrt {10}$

Άρα $\displaystyle {\rm E}{\rm B} + {\rm E}\Gamma = 3\left( {\sqrt 5 + \sqrt {10} } \right)$

Γιώργος Ρίζος

Ανδρέας Πούλος · #4

Βασίζομαι στο σχήμα του Αντώνη, (όχι επειδή είναι τόσο ωραίο σχήμα, αλλά δεν ξέρω να κάνω σχήματα).
Ισχύει (από εμβαδόν τριγώνου) ΕΗ.α = 2(12 + 6) = 2.18 = 36
Όμως (από ιδιότητα ορθογωνίων τριγώνων) (α - ΕΗ).ΕΗ = $\Delta H^{2}$
Άρα, ΕΗ.α - $\ EH^{2}$ = $\Delta H^{2}$ .
Άρα 36 = $\Delta H^{2}$ + $\ EH^{2}$ = $\Delta E^{2}$ . Άρα, ΔΕ = 6, (1)
Όμως, ΔΕ.ΕΖ = 2.12 = 24, άρα 6.ΕΖ = 24, άρα ΕΖ = 4, (2).

Από Πυθαγόρειο θεώρημα και λόγω των σχέσεων (1) και (2) έχουμε $\Delta E^{2}$ + $\ EZ^{2}$ = $\Delta Z^{2}$ .
Άρα, $6^{2 } + 4^{2} = \left(\frac{2a}{3} \right)^{2} \Rightarrow a = 3\sqrt{13}$ .
Για το δεύτερο ερώτημα, δεν βρήκα κάτι καλύτερο.
Όχι ότι η προσέγγισή μου στο 1ο ερώτημα ήταν συντομότερη από αυτές των Αντώνη και Γιώργου,
αλλά κάτι πρέπει να γράψουμε και εμείς για να δικαιολογήσουμε την παρουσία μας
(και να πιάσουμε τις 400 δημοσιεύσεις, έτσι για τα ένσημα και όχι για τα εύσημα).

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

mathxl · #5

Μιχάλη σε ευχαριστούμε keep walikng

A.Spyridakis · #6

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Βασίζομαι στο σχήμα του Αντώνη, (όχι επειδή είναι τόσο ωραίο σχήμα,

Τι? Δεν κατάλαβα κ. Ανδρέα! Δε σας άρεσε το σχήμα μου?

(κι εγώ αντιγραφή το έκανα, δε φαίνεται?

)

Ανδρέας Πούλος έγραψε:...αλλά κάτι πρέπει να γράψουμε και εμείς για να δικαιολογήσουμε την παρουσία μας
(και να πιάσουμε τις 400 δημοσιεύσεις, έτσι για τα ένσημα και όχι για τα εύσημα).

Χαχαχαχα!!! Πάντα απολαυστικός!!!!!! (και τυχερός που θα πάρετε σύνταξη!

)

GMANS · #7

Μια πολύ ωραία δουλειά τα εκατοστίζει .
Ευχή αλλά και ελπίδα μου είναι να τα χιλιάσει

Μικρή συνεισφορά στις πολύ ωραίες λύσεις με αναλυτική ….

Έστω Β(0,0), Γ(α,0), Δ(α,α), Α(0,α)
Επειδη τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΕΖΒ έχουν το ίδιο ύψος και (ΔΕΖ)=2(ΕΖΒ) άρα ΔΖ=2ΖΒ οπότε ΔΖ=2α/3 και ΖΒ=α/3
Οπότε Z(α, α/3)
η εξίσωση της (ΑΖ): ψ=-2/3*χ+α και ΔΕ κάθετη ΑΖ άρα
(ΔΕ):ψ=3/2*χ - α/2
Οπότε Ε(9α /13 , 7α /13 ) όμως (ΕΖΒ)=6 οπότε

$\frac{4a^{2}}{78}=6\Leftrightarrow a=3\sqrt{13} ,E(\frac{27\sqrt{13}}{13},\frac{21\sqrt{13}}{13})$

(BE)= $3\sqrt{10}$

$(E\Gamma )=3\sqrt{5}$

Οπότε (ΒΕ)+(ΕΓ)= $3\sqrt{10}+3\sqrt{5}$

#8

ΜΙΧΑΛΗ

να τις χιλιάσεις.
Λοιπόν εκτός από τα μελομακάρονα που θα κεράσω , θα σε βοηθήσω να τις αποδελτιώσουμε.

Χρήστος

Ξεκινάω...

#9

Μιχάλη,

Συνέχισε την ωραία δουλειά που ξεκίνησες στο

.

Σε ευχαριστώ πολύ για την αφιέρωση της 100ης άσκησης.

Η 100στη άσκηση

Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Re: Η 100στη άσκηση

Μέλη σε σύνδεση