Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (4)

#1

Ας υπολογισθεί το $\displaystyle{\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-1)(z-2)\cdots(z-n)}\,dz}$ , όπου

θετικός ακέραιος,

είναι ο κύκλος $\displaystyle{|z|=r}$ με τη θετική φορά,

είναι θετικός ακέραιος με $\displaystyle{N<r<N+1}$ και η $\displaystyle{f(z)}$ είναι αναλυτική στο $\displaystyle{\mathbb C}$ .

kwstas12345 · #2

Eύκολα βλέπουμε πως η συνάρτηση $\displaystyle h\left(z \right)=\frac{f\left(z \right)}{\left(z-1 \right)\left(z-2 \right)\cdot...\left(z-n \right)}$ έχει απλούς πόλους στα στοιχεία του συνόλου $\displaystyle \mathcal{B}=\left\{z_{0}:z_{0}\in \left\{1,2,...,n \right\}\wedge f\left(z_{0} \right)\neq 0 \wedge \left|z_{0} \right|<r \right\}$ αφού αν $\displaystyle f\left(z_{0} \right)=0, z_{0} \in \left\{1,2,3,...,n \right\}$ τότε το σημείο $z_{0}$ είναι απαλείψιμη ανωμαλια αφού $\displaystyle \lim_{z\rightarrow z_{0}}h\left(z \right)=0$ , συνεπώς $\displaystyle \oint_{C} h\left(z \right)dz=2\pi i \sum_{z \in \mathcal{B}}{\Res\left(h,z_{0} \right)}, h\left(z \right):=\frac{f\left(z \right)}{\prod_{i=1}^{n}{\left(z-i \right)}}$ . Έυκολα βλέπουμε πως όλοι οι πόλοι αν υπάρχουν είναι απλοί $\displaystyle Res\left(h_{z0} \right)=\lim_{z\rightarrow z_{0}}\left(z-z_{0} \right)h\left(z \right)=\frac{f\left(z_{0} \right)}{\prod_{i\neq z_{0}}{\left(z_{0}-i \right)}}, z_{0}\in \mathcal{B}$ .Άρα το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle 2\pi i\sum_{z_{0} \in \mathcal{B}} {\frac{f\left(z_{0} \right)}{\prod_{i\neq z_{0}}{\left(z_{0}-i \right)}}}$ .Σε περίπτωση που περιέχονταν όλοι οι πόλοι εντός του κύκλου θα μπορούσε κανεις να δουλέψει με το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο άπειρο, που το βλέπω καπως δυσκολο γιατί η συναρτηση που θα προκύψει έχει δυσκλο υπολογισμό ρεσιντιου στο μηδέν.

Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (4)

Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (4)

Re: Ολοκλήρωση σε κλειστό μονοπάτι (4)

Μέλη σε σύνδεση