Τριγωνική ανισότητα με Ν. Συνημιτόνων

#1

Χρησιμοποιώντας το Νόμο Συνημιτόνων για τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ αποδείξτε την Τριγωνική Ανισότητα.

ΣΧΟΛΙΟ: Μια δική μου ιδέα "στον πίνακα". Δεν την έχω δει κάπου, δίχως όμως να αποκλείεται να υπάρχει σε κάποιο βιβλίο!
Ερώτηση: Υπάρχει πρόβλημα "προθύστερου"; Η τριγωνική ανισότητα είναι προαπαιτούμενη με κάποιον τρόπο για την απόδειξη του Ν. Συνημιτόνων;

Γιώργος Ρίζος

#2

Γεια σου Γιώργο.

Νομίζω εννοείς το εξής:

Αν $\displaystyle{A}$ γωνία τριγώνου, ισχύει προφανώς $\displaystyle{-1<\cos A <1}$ , άρα

$\displaystyle{-2bc<b^2+c^2-a^2<2bc.}$

Η αριστερή ανισότητα γράφεται ως $\displaystyle{(b+c)^2>a^2}$ , οπότε $\displaystyle{b+c>a,}$

ενώ η δεξιά ως

$\displaystyle{(b-c)^2<a^2}$ , οπότε $\displaystyle{|b-c|<a.}$

#3

Θάνο, ναι, αυτό εννοούσα:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ.
Είναι:
$\displaystyle \begin{array}{l} 0 < \widehat{\rm A} < \pi \Rightarrow - 1 < \sigma \upsilon \nu {\rm A} < 1\; \Rightarrow \;2\beta \gamma > - 2\beta \gamma \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm A} > - 2\beta \gamma \; \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \beta ^2 + \gamma ^2 + 2\beta \gamma > \beta ^2 + \gamma ^2 - 2\beta \gamma \cdot \sigma \upsilon \nu {\rm A} > \beta ^2 + \gamma ^2 - 2\beta \gamma \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \left( {\beta + \gamma } \right)^2 > \alpha ^2 > \left( {\beta - \gamma } \right)^2 \Rightarrow \beta + \gamma > \alpha > \left| {\beta - \gamma } \right| \\ \end{array}$

Αναρωτιέμαι, αν κάπου στη διαδικασία απόδειξης του Ν. Συνημιτόνων προαπαιτείται η χρήση της τριγωνικής ανισότητας, οπότε θα δημιουργείται "κυκλικό σχήμα", δηλαδή να αποδείξουμε κάτι χρησιμοποιώντας πρόταση που στηρίζεται στο αποδεικτέο.

Γιώργος Ρίζος

Τριγωνική ανισότητα με Ν. Συνημιτόνων

Τριγωνική ανισότητα με Ν. Συνημιτόνων

Re: Τριγωνική ανισότητα με Ν. Συνημιτόνων

Re: Τριγωνική ανισότητα με Ν. Συνημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση