Συναρτησιακές Εξισώσεις

erxmer · #81

Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις ώστε $f([1,+\infty))=[1,+\infty)$ που ικανοποιούν τις σχέσεις
a) f (x) ≤ 2(1+x)
b) x f (x+1) = f ^2(x) -1

για όλα τα $x\in [1,+\infty)$

#82

35.
Να προσδιοριστούν όλες οι φραγμένες συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ , τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(xy\right)+f\left(x+y \right)=f\left(x\right)f\left(y\right)+1 }$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{Z}$ .

#83

socrates έγραψε: 28.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(x+y\right)+f\left(x\right)f\left(y\right)=f\left(xy\right)+2xy+1 }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Έχει συζητηθεί και εδώ.

erxmer έγραψε:34.
Nα βρεθούν όλες οι πραγματικές συναρτήσεις ώστε $f([1,+\infty))=[1,+\infty)$ που ικανοποιούν τις σχέσεις
a) f (x) ≤ 2(1+x)
b)
για όλα τα $x\in [1,+\infty)$

Έχει συζητηθεί εδώ.

mathxl · #84

36. Ελπίζω να μην έχει συζητηθεί
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ η οποία ικανοποιεί την $\displaystyle{f\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = f\left( x \right)f\left( y \right)}$ για όλους τους πραγματικούς x,y. Να βρείτε την f

#85

mathxl έγραψε:36. Ελπίζω να μην έχει συζητηθεί
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ η οποία ικανοποιεί την $\displaystyle{f\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = f\left( x \right)f\left( y \right)}$ για όλους τους πραγματικούς x,y. Να βρείτε την f

Για

είναι $f(\sqrt{2}|x|)=f^2(x)\geq 0 (^*)$ , δηλαδή $f(x)\geq 0, \ x \geq 0$ .

Θέτοντας x:=|x|,y:=0

έχουμε

.

Αν $1-f(0)\ne 0$ τότε f(|x|)=0

και λόγω της (^*)

, $f\equiv 0$ .

Αν f(0)=1

τότε για

, η αρχική δίνει f(|x|)=f(x)

, δηλαδή η

είναι άρτια.
Αρκεί, λοιπόν, να προσδιοριστεί στο $[0,+\infty)$ .

Από την (^*)

για $x:=x\sqrt{2}$ είναι $f(2x)=f^4(x), \ x\geq 0$ και επαγωγικά $\displaystyle f(2^nx)=f^{2^{n+1}}(x), \ n \in \mathbb{Z}\ (^{**})$ .

Αν υπάρχει x_0>0

(προφανώς $x_0 \ne 0$ ) ώστε f(x_0)=0

τότε η αρχική για y=x_0

δίνει $f(\sqrt{x^2+x_0^2})=0$ , δηλαδή $f(x)=0, \ x\geq x_0$ .

Επίσης,για 0<a<x_0

υπάρχει $m \in \mathbb {Z}$ ώστε $\displaystyle \frac{x_0}{2^m}\leq a$ .
Αν θέσουμε στην αρχική $\displaystyle x=\frac{x_0}{2^m}, y^2=a^2-\left(\frac{x_0}{2^m}\right)^2\geq 0$ θα προκύψει $f(a)=f(\frac{x_0}{2^m})f(y)=0$ λόγω της $(^{**})$ .

Έτσι, f(x)=0, x>0

, άτοπο λόγω συνέχειας (στο 0).

Είναι, λοιπόν, $f(x)\ne 0, x \in \mathbb {R}$ .

Θέτουμε $x:=x+y, \ y:=x-y$ και έχουμε $f(\sqrt{2(x^2+y^2)})=f(x+y)f(x-y)=f^2(\sqrt{x^2+y^2})=f^2(x)f^2(y)$ χρησιμοποιώντας την (*).

Ορίζοντας $g(x)=\ln(f(x))$ η τελευταία γίνεται g(x+y)+g(x-y)=2g(x)+2g(y)

που είναι γνωστή (δείτε πχ εδώ).

Λόγω συνέχειας g(x)=ax^2

και τελικά $f(x)=e^{ax^2}$ .

#86

37.
Να προσδιοριστούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:(0,+\infty)\rightarrow (0,+\infty)$ , τέτοιες ώστε $\displaystyle { f\left(x\right)=f\left(\sqrt{2x^2-2x+1}\right) }$ , για κάθε x>0

.

mathxl · #87

38) από μαθλινκσ και αναπάντητη - δεν έχω ασχοληθεί
Έστω η σνάρτηση f:R->R τέτοια ώστε f((x+1)f(y))=y(f(x)+1)

για κάθε x,y, πραγματικούς. Να βρείτε τον τύπο της f

mathxl · #88

39. Να βρείτε την συνάρτηση f:R->R που για όλους τους πραγματικούς x,y ικανοποιεί την $f(x^{2}-y^{2})=xf(y)-yf(x)$ . Ομοίως από μαθλινκσ και αναπάντητη

#89

mathxl έγραψε:39. Να βρείτε την συνάρτηση f:R->R που για όλους τους πραγματικούς x,y ικανοποιεί την $f(x^{2}-y^{2})=xf(y)-yf(x)$ . Ομοίως από μαθλινκσ και αναπάντητη

Για

είναι

.

Για

είναι

, δηλαδή $f(x)=0, \ x\leq 0$ .

Για y=0

είναι

, δηλαδή $f(x)=0, \ x\geq 0$ .

Τελικά, $f \equiv 0$ .

Μια παρόμοια...

40.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f :R-->R : ώστε f(x^2-y^2)=(f(x))^2-(f(y))^2

, για κάθε χ , y απο το R.
(viewtopic.php?f=50&t=2876&p=16339#p16339)

#90

mathxl έγραψε:38) από μαθλινκσ και αναπάντητη - δεν έχω ασχοληθεί
Έστω η σνάρτηση f:R->R τέτοια ώστε για κάθε x,y, πραγματικούς. Να βρείτε τον τύπο της f

Μια ημιτελής προσπάθεια...

Για y=0

είναι

. Αν $f(0)\ne 0$ τότε $f\equiv 0$ , που δεν είναι λύση. Άρα f(0)=0

.

Για

προκύπτει

.

Για

: $f(f(x))=x, \ (^*)$ , οπότε η

είναι 1-1 και επί. Έτσι υπάρχει

ώστε

.

Για

,

ή $f(x)=a(f(x-1)+1),\ \ (^{**})$ .

Για y=-1, x:=-x

έχουμε

.

Η $\ (^{**})$ γίνεται f(x)=-af(-x)

. Θέτοντας στην τελευταία x:=-x

έχουμε

.

Οι δύο τελευταίες δίνουν f(x)=-af(-x)=a^2f(x)

,
οπότε αφού η

δεν είναι η μηδενική, $a^2=1 \implies a= 1$ (προφανώς $a\ne -1$ διότι f(-1)=-1

).

Έτσι, f(1)=1

και

, δηλαδή περιττή.

Θέτοντας τώρα στην αρχική $y:=f(y), \ x:=x-1$ έχουμε $f(xy)=f(y)(f(x-1)+1)=f(y)(-f(-x))=f(x)f(y), \ (^{***})$ .

Στη συνέχεια, f(x^2)=f^2(x)

οπότε $f(x)\geq 0, \ x \geq 0$ .

Από f(x+1)=f(x)+1

έχουμε $f(x)=x,\ x \in \mathbb{Z}$ και από $(^{***})$ $f(x)=x,\ x \in \mathbb{Q}$ ....

41.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f (x^{3}+y^{3}) = x^{2}f (x)+yf (y^{2})$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?f=50&t=2776&p=15160#p15160)

#91

socrates έγραψε:
οπότε $f(x)\geq 0, \ x \geq 0$ .

Από έχουμε $f(x)=x,\ x \in \mathbb{Z}$ και από $(^{***})$ $f(x)=x,\ x \in \mathbb{Q}$ ....

Το τελείωμα !! Θα έχουμε με επαγωγή ότι για κάθε ακέραιο n f(x+n)=f(x)+n

Θεωρούμε έναν τυχαίο

πραγματικό και έναν $a=\frac{m}{n}$ ρητό με $x\geq a$ .

Τότε $nx-m\geq 0$ άρα $f(nx-m)\geq 0$ , δηλαδή $f(nx)-m\geq 0$ άρα $nf(x)\geq m$

άρα $f(x)\geq a=f(a)$ . Εντελώς όμοια δείχνουμε ότι για $x\leq a$ ισχύει $f(x)\leq f(a)$ .

Επομένως αν προσεγγίσουμε το x από ακολουθίες ρητών από το θεώρημα ισοσυγκλινουσών θα έχουμε ότι
f(x)=x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$

#92

42.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \rightarrow \math{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle f(x)f(y)+1=f(\frac{a}{x})f(\frac{a}{y})+f(xy), \forall x,y>0$ , όπου a >0

σταθερή.
(viewtopic.php?f=50&t=4601&p=25862#p25862)

43.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(f(x)+y) = f(x^{2}-y)+4f(x)y$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .
(viewtopic.php?f=50&t=2733&p=14689#p14689)

44.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ και $f(x)\leq e^x-1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Σακης · #93

43. Για

περνουμε:

Για

εχουμε:

Απο τις δυο σχεσεις προκυπτει f^2(x)=f(x)x^2

Αρα

για καθε $x\in{R}$

ή f(x)=x^2

για ορισμενα

και

για τα υπολοιπα, η οποια απορριπτεται.

#94

45.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοιες ώστε $\displaystyle { f(x)-f(y)=(x-y)(g(x)+g(y))}$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

46.
Να προσδιοριστούν όλες οι ακολουθίες θετικών ακεραίων $\displaystyle \{a_n\}_{n\geq 1}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle { a_n+a_{n+1}+2010=a_{n+2}a_{n+3} }$ , για κάθε $n \in \mathbb{N^*}$ .

#95

οταν $\displaystyle{y\to x}$ τότε $\displaystyle{f(y)\to f(x)}$ , αν θεωρήσω ότι g φραγμένη κοντά στο χ, που σημαίνει οτι f συνεχής και επειδή $\displaystyle{f(x)-f(0)=xg(x)}$ τότε και η g είναι συνεχής εκτός ίσως του 0
Αν g ασυνεχής στο 0 επειδή $\displaystyle{f(x)-f(1)=(x-1)(g(x)+g(1))}$ η μόνη ασυνέχεια της g μπορεί να υφίσταται μόνο στο 1 άτοπο
Tελικά και g συνεχής στο R
Έχουμε $\displaystyle{\lim_{y \to x}{\frac{f(y)-f(x)}{y-x}}=\lim_{y \to x}{(g(y)+g(x))}=2g(x)}\in R$
άρα $\displaystyle{g(x)=\frac{1}{2}f'(x)}$
καταλήγουμε στην ΔΕ
$\displaystyle{xf'(x)-2f(x)=-2f(0)}$
που κατά τα γνωστά (δυο διαστήματα...) δίνει $\displaystyle{f(x)=ax^2+b}$
(ΜΕ Επιφύλαξη για την αρχή της λύσης)

#96

47.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ , τέτοιες ώστε
(i) f(x+1)=f(x)+1

και
(ii) $f(x^3)=\left [ f(x) \right]^3$ , για κάθε $x \in \mathbb{Q}^+$ .

48.
Θεωρούμε την ακολουθία μη αρνητικών ακεραίων $\{a_n\}_{n\geq 1}$ τέτοια ώστε
i) $a_{mn} = a_{m}+a_{n}$ για κάθε $m,n \in \mathbb{N}^*$
ii) $a_{n} =0$ , αν το ψηφίο των μονάδων του

είναι

iii) $a_{10} = 0$ .

Να δείξετε ότι $a_{n} = 0$ , για κάθε θετικό ακέραιο

.

#97

Λύση Άσκησης 48

Αν $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ η ανάλυση του

σε πρώτους παράγοντες, τότε λόγω της δοσμένης αρχικής σχέσης με επαγωγή παίρνουμε $a_n=r_1a_{p_1}\cdots r_ka_{p_k}$ .

Προφανώς λοιπόν, αρκεί να αποδείξουμε ότι a_p=0

για οποιοδήποτε πρώτο

.

Επίσης είναι πολύ απλό να αποδείξουμε ότι a_i=0

για

Επειδή $0=a_{343}=a_{7^3}=3a_7$ , άρα a_7=0

Κάθε πρώτος είναι της μορφής 10k+1

ή

.

Aν

τότε

$a_{3p}=a_3+a_p=a_p$ . Όμως ο $a_{3p}$ λήγει σε

, άρα $a_{3p}=0$ συνεπώς a_p=0

.

Αν

τότε είναι δοσμένο ότι a_p=0

Αν

τότε λόγω της αρχικής σχέσης παίρνουμε $a_{p^3}=3a_p$

Όμως $p^3=(10k+7)^3\equiv 3\pmod{10}$ άρα $a_{p^3}=0$ συνεπώς a_p=0

Τέλος, αν

τότε $a_{7p}=a_7+a_p = a_p$ . Όμως $7p\equiv 3\pmod{10}$ άρα $a_{7p}=0$ οπότε a_p=0

.

Αλέξανδρος

#98

Λύση Άσκησης 47

Έχουμε τις σχέσεις:

$f(x+1)=f(x)+1, \ \forall x\in\mathbb{Q}^{+} \ \ (1)$ και
$f\left(x^3\right)=f^3(x), \ \forall x\in\mathbb{Q}^{+} \ \ (2)$ .

Στη (2)

για

παίρνουμε τελικά f(1)=1

. Άρα από την (1)

επαγωγικά παίρνουμε $f(n)=n, \ \forall n\in\mathbb{N}^{\star} \ \ (3)$ .
Όμοια από την (1)

επαγωγικά παίρνουμε $f(x+n)=f(x)+n, \ \forall n\in\mathbb{N}^{\star}, \ \forall x\in\mathbb{Q}^{+}, \ \ (4)$

Επίσης για τον τυχόντα θετικό ρητό $x=\displaystyle\frac{k}{l}$ ( k,l

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί), επιλέγουμε φυσικό αριθμό

τέτοιο ώστε l^2|n

$(\star)$ (υπάρχουν άπειροι φυσικοί

με αυτή την ιδιότητα) και έχουμε:

$(\star)$ : Στην αμέσως επόμενη γραμμή για να χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις (3),(4)

οι ποσότητες $3x^2n, \ 3xn^2$ πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί. Η εκλογή αυτή του

μας διαβεβαιώνει γι' αυτό.

$\displaystyle{f\left((x+n)^3\right)=f\left(x^3+3x^2n+3xn^2+n^3\right)\stackrel{(3),(4)}{=}f(x^3)+3x^2n+3xn^2+n^3, \ \ (5)}$

Από την άλλη λόγω της (2)

:

$\displaystyle{f\left((x+n)^3\right)=f^3(x+n)\stackrel{(4)}{=}\left(f(x)+n\right)^3=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2+n^3, \ \ (6)}$

Από τις (5),(6)

παίρνουμε τελικά (τα f(x^3)

και

είναι ίσα λόγω της (2)

) ότι:

για όλους τους φυσικούς αριθμούς

με την παραπάνω ιδιότητα.

Άρα $\left[f(x)-x\right]\left[3n^2+3nf(x)+3xn\right]=0$ .

Όμως 3n^2+3nf(x)+3xn > 0

ως άθροισμα θετικών κι έτσι f(x)=x

.

Η παραπάνω αποδείχθηκε για τον τυχόντα ρητό

. Συνεπώς $f(x)=x, \forall x\in\mathbb{Q}^{+}$ .

Αλέξανδρος

chris · #99

ΑΣΚΗΣΗ 49

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που είναι τέτοιες ώστε:

$\displaystyle \boxed{f\left(f(x)+y \right)=2x+f\left(f\left(f(y) \right)-x \right),\forall x,y \in \mathbb{R}}$

ΑΣΚΗΣΗ 50

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Z}^+\to \mathbb{R}$ , που είναι τέτοιες ώστε:

$\bullet f(n+1)\geq f(n),\forall n\geq 1$
$\bullet f(m\cdot n)=f(m)\cdot f(n),\forall (m,n)=1$

#100

mathxl έγραψε:36. Ελπίζω να μην έχει συζητηθεί
Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{f:R \to R}$ η οποία ικανοποιεί την $\displaystyle{f\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right) = f\left( x \right)f\left( y \right)}$ για όλους τους πραγματικούς x,y. Να βρείτε την f

Έχει συζητηθεί και εδώ.

chris έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 50

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{Z}^+\to \mathbb{R}$ , που είναι τέτοιες ώστε:

$\bullet f(n+1)\geq f(n),\forall n\geq 1$
$\bullet f(m\cdot n)=f(m)\cdot f(n),\forall (m,n)=1$

Έχει συζητηθεί εδώ.

Συναρτησιακές Εξισώσεις

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

Μέλη σε σύνδεση