Eξάσκηση για Ευκλείδη Β λυκείου

[slash]

Καλα ξεκινησες λεγοντας οτι ο Β ειναι αρρητος. Σου τονιζω οτι 1/4 + 0,75 = 1 και ξανακοιταξε λιγο τους Α και Β , εχουν καποια στοιχεια που μπορεις να εκμεταλλευτεις.

[irakleios]

Άσκηση 4η)
Πολυ ωραιο θεμα , και ευχαριστω που το δημιουργησες.

An a,b θετικοι ακεραιοι ωστε και
και
ν.δ.ό

iii)ο αριθμος Β ειναι αρρητος με δεκαδικο μερος ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ του 0,75.

Κωστας.

αν πάρω a = 7 και b = 1 τότε Β = 197,99...... που το 0,99 είναι μεγαλύτερο του 0,75 . Δεν βλέπω κάτι ;

[slash]

Πωωωωωωω φιλε ειμαι απαραδεκτος. Οτι και να πεις θα εχεις δικιο. Ειναι μεγαλυτερο , οχι μικροτερο, χιλια συγγνωμη τωρα το ειδα. Το διορθωνω αμεσως. Λοιπον σου λεω τη λυση γιατι σε εχω ταλαιπωρησει πολυ.(sorry και παλι)

Παρατηρουμε οτι ο Α ειναι αρρητος οπως και ο Β. Ωστοσο ο Α + Β ειναι ακεραιος και μαλιστα θετικος. Επειδη 0<Α<0,25 το δεκαδικο μερος του Β πρεπει να ειναι μεγαλυτερο του 0,75.

Κωστας.

[irakleios]

Πωωωωωωω φιλε ειμαι απαραδεκτος. Οτι και να πεις θα εχεις δικιο. Ειναι μεγαλυτερο , οχι μικροτερο, χιλια συγγνωμη τωρα το ειδα. Το διορθωνω αμεσως. Λοιπον σου λεω τη λυση γιατι σε εχω ταλαιπωρησει πολυ.(sorry και παλι)

Παρατηρουμε οτι ο Α ειναι αρρητος οπως και ο Β. Ωστοσο ο Α + Β ειναι ακεραιος και μαλιστα θετικος. Επειδη 0<Α<0,25 το δεκαδικο μερος του Β πρεπει να ειναι μεγαλυτερο του 0,75.

Κωστας.

Xμμμ...πάλι όμως δεν νομίζω ότι είναι σωστό και θα σου πω γιατί .

αν πάρω πχ Α = 0,29 και Β = 3,71 τότε το άθροισμα Α + Β = 4 είναι ακέραιος με Α < 0,25 αλλά το δεκαδικό μέρος του Β είναι μικρότερο από 0,75 οκ εδώ δεν είναι άρρητοι αλλά θέλω να πώ ότι γενικά δεν ισχύει.

Ας πάμε τώρα στους αρρήτους μας... κάθησα και έδωσα τιμές α = β = 1,2,...,11 μέχρι εδώ το δεκαδικό μέρος είναι μεγαλύτερο του 0,75 από κει και πέρα όμως δηλαδή α = β = 12 , 13 , 14 .... το δεκαδικό μέρος αρχίζει και γίνεται μικρότερο του 0,75
μάλιστα για α = β = 12 αρχίζει το ''κακό'' με αποτέλεσμα 505,7599 όταν πάρεις πχ α = β = 777 εκεί πάει ...,41.....
κάτι γίνεται με τις σειρές (δεν έχω χρόνο να το δώ παραπάνω) . πάντως ο υπευθυνος της υπόθεσης από τι βλέπω είναι η παράσταση με α > β.

[slash]

Yπαρχουν θετικοι ακεραιοι a,b ωστε να γινεται Α=0,29 και Β=3,71?...

[irakleios]

Yπαρχουν θετικοι ακεραιοι a,b ωστε να γινεται Α=0,29 και Β=3,71?...

στην περίπτωσή μας όχι διότι έχουμε άρρητους αλλά σου είπα γενικά για την ιδέα ότι Α + Β = θετικός ακέραιος με Α < 0,25 τότε δεν συνεπάγεται ότι δεκαδικό μέρος του Β > 0,75

Όσον αφορά την περίπτωσή μας σου λέω παρακάτω τι γίνεται.

Να είσαι καλά και Καλά Χριστούγεννα.

[slash]

Για α=β=777 το Β=2416469,7501....

Με αλλα λογια το 75 ειναι σταθερο δεκαδικο μερος του Β. Δεν ξερω πως βρηκες ...,40τοσο αλλα εγω τοσο εβγαλα.

Καλες γιορτες και σε σενα.
Κωστας.

[irakleios]

Για α=β=777 το Β=2416469,7501....

Με αλλα λογια το 75 ειναι σταθερο δεκαδικο μερος του Β. Δεν ξερω πως βρηκες ...,40τοσο αλλα εγω τοσο εβγαλα.

Καλες γιορτες και σε σενα.
Κωστας.

ναι τόσο βρήκα και γώ. άρα καλύτερα να πούμε ότι είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 0,75 . νομίζω τώρα είναι οκ.

[slash]

Άσκηση 10η

Eστω a,b,c,d πραγματικοι αριθμοι. Να δειξετε οτι οι αριθμοι a-b² , b-c²,c-d²,d-a² δεν μπορουν ολοι να ειναι μεγαλυτεροι απο 1/4.

(Titu Andreescu - Mathematical olympiad challenges)

Βρηκα μια λυση αλλα θελω να δω και δικιες σας.

[BILL_FC]

Μια λύση για τη 10η...

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω ότι ισχύει , , και . Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:







Άτοπο... Οπότε ένας τουλάχιστο είναι μικρότερος από .

[slash]

Και γω ετσι την ελυσα.

[imathiop]

Για την 8 ύψωσα στο τετραγωνο έκανα ταυτότητες και κατέληξα στο 2χ^2+4α|x|+α^2-16=0 πρεπει Δ>0 άρα α<-2 διότι παρατηρουμε οτι για α=0 ή για α>0 δεν πέρνουμε 3 λύσεις άρα α<0 , επίσης μια απο τις λύσεις του τριωνύμου πρέπει να είναι μηδέν άρα η μια μονο μπορει να είναι τότε α = - ρίζα5 δεύτερα. Δεν μπορώ όμως να πω οτι είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση , να βοηθήσουν λίγο οι εμπειρότεροι.

[irakleios]

ας δώσω μια σκέψη για την 8

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

γνωρίζουμε ότι για κάθε πραγματικό x ισχύουν : >0 και < 0.

Για α > 0 η εξίσωση γράφεται : |x| = 1 - α η οποία έχει το πολύ 2 λύσεις. Άρα το ζητούμενο θα προκύψει για α < 0.

Για x > 0 έχουμε |2x + α| = 2 + α ενώ για x < 0 έχουμε |2x - α| = 2 + α , άρα θα πρέπει α > - 2 , τότε οι εξισώσεις δίνουν για x > 0 : 2x + α = 2 + α ή 2x + α = - 2 - α δηλαδή x = 1 ή x = -1 - α (με α < - 1) και για x <0 :
2x -α = 2 +α ή 2x - α = -2 -α δηλαδή x = 1+α(α <-1) ή x = - 1 . Τελικά θα πρέπει για να έχουμε 3 ακριβώς λύσεις : α =-1 και αυτές θα είναι x = 0 , 1 , - 1 .

[irakleios]

Για την 8 ύψωσα στο τετραγωνο έκανα ταυτότητες και κατέληξα στο 2χ^2+4α|x|+α^2-16=0 πρεπει Δ>0 άρα α<-2 διότι παρατηρουμε οτι για α=0 ή για α>0 δεν πέρνουμε 3 λύσεις άρα α<0 , επίσης μια απο τις λύσεις του τριωνύμου πρέπει να είναι μηδέν άρα η μια μονο μπορει να είναι τότε α = - ρίζα5 δεύτερα. Δεν μπορώ όμως να πω οτι είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση , να βοηθήσουν λίγο οι εμπειρότεροι.

γενικά όταν υψώνεις στο τετράγωνο δεν παίρνεις ισοδύναμες εξισώσεις.

πχ η x = 2 δεν είναι ισοδύναμη με την (Η μία έχει μια λύση ή άλλη 2)

[socrates]

Και λίγη συνδυαστική...

Άσκηση 11η

8 μαθητές γράφουν ένα διαγώνισμα. Είναι γνωστό ότι κάθε πρόβλημα λύθηκε σωστά από ακριβώς 4 μαθητές.
Ακόμη, δύο οποιοιδήποτε μαθητές έλυσαν τον ίδιο αριθμό κοινών προβλημάτων.
Να δείξετε ότι ο αριθμός των προβλημάτων είναι τουλάχιστον 14.


Άσκηση 12η

Το άθροισμα , διαφορετικών ανά δύο, θετικών ακεραίων ισούται με .
Να δείξετε ότι δύο από αυτούς τους αριθμούς έχουν άθροισμα .

[Mihalis_Lambrou]

ΑΣΚΗΣΗ 1η

Να λυθεί η εξίσωση με άγνωστους τους υπόλοιπους συντελεστές, αν είναι γνωστό οτι οι ρίζες της είναι όλες θετικές.

Τρεις προσσεγγίσεις για το (1):

Δημήτρη (Cauchy-Schwartz), νομίζω ότι καμία από τις λύσεις σου δεν είναι σωστή: Μην ξεχνάς ότι δεν ξέρουμε κανένα από τους υπόλοιπους συντελεστές, οπότε ...

Δίνω μία λύση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν οι ρίζες τότε από Vieta και C-S έχουμε . Συνεπώς έχουμε ισότητα παντού, δηλαδή όλες οι ρίζες είναι ίσες με 1.

[nickthegreek]

Άσκηση 13η

Nα βρεθεί το ελάχιστο της παράστασης:





Φιλικά,
Νίκος

[s.kap]

Δες εδώ viewtopic.php?f=23&t=11956

Καλή Χρονιά

[socrates]

Άσκηση 9η

Βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Μια λύση στην 9, εδώ.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ευκαιρία να επαναφέρω το θέμα...

[Eukleidis]

Για την 8.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Παρατηρούμε ότι αν ρ ρίζα τότε και -ρ ρίζα. Πράγματι,
Αν ρ ρίζα τότε τότε για χ=-ρ


Αρα οι ριζες πάνε ανα ζεύγη αντιθετων. Μονο το 0 εχει την ιδιοτητα να είναι ο ιδιος ο αντιθετός του. Αρα μια ρίζα είναι το χ=0 απο όπου προκύπτει ότι α=-1