Τετράπλευρο - εμβαδά

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα ζεύγη σημείων Ε, Ε΄ Ζ, Ζ΄, Η, Η΄ , Θ, Θ΄ που τριχοτομούν τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ του τετραπλεύρου. Τα ευθύγραμμα τμήματα Ε΄Ζ, Ζ΄Η, Η΄Θ και Θ΄Ε προεκτεινόμενα σχηματίζουν νέο τετράπλευρο ΚΛΜΝ. Να δείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο.
β) 9(ΚΛΜΝ) = 8(ΑΒΓΔ)

margavare · #2

α) Από ομοιότητα τριγώνων έχουμε
ΒΕ΄Ζ τρίγωνο όμοιο με ΒΑΓ με λόγο 1/3 και Ε΄Ζ//ΑΓ
ΔΗ΄Θ τρίγωνο όμοιο με ΔΑΓ με λόγο 1/3 και Η΄Θ//ΑΓ

Ζ΄ΓΗ τρίγωνο όμοιο με ΒΔΓ με λόγο 1/3 και Ζ΄Ή//ΒΔ
ΑΘ΄Ε τρίγωνο όμοιο με ΑΒΔ με λόγο 1/3 και ΘΈ//ΒΔ

Άρα το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραμμο.

β)

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left( {{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}} \right) = \left( {{\rm E}{\rm E}'{\rm Z}{\rm Z}'{\rm H}{\rm H}'\Theta \Theta '} \right) + \left( {{\rm K}{\rm E}'{\rm E}} \right) + \left( {\Lambda {\rm Z}'{\rm Z}} \right) + \left( {{\rm M}{\rm H}'{\rm H}} \right) + \left( {{\rm N}\Theta '\Theta } \right) = \\ \\ \left( {{\rm E}{\rm E}'{\rm Z}{\rm Z}'{\rm H}{\rm H}'\Theta \Theta '} \right) + \left( {{\rm B}{\rm E}'{\rm Z}} \right) + \left( {\Theta {\rm H}'\Delta } \right) = \\ \\ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \left( {{\rm A}\Theta '{\rm E}} \right) - \left( {{\rm B}{\rm E}'{\rm Z}} \right) - \left( {\Gamma {\rm Z}'{\rm H}} \right) - \left( {\Theta {\rm H}'\Delta } \right) + \left( {{\rm B}{\rm E}'{\rm Z}} \right) + \left( {\Theta {\rm H}'\Delta } \right) = \\ \\ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \left( {{\rm A}\Theta '{\rm E}} \right) - \left( {\Gamma {\rm Z}'{\rm H}} \right) = \\ \\ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \frac{1}{9}\left( {{\rm A}{\rm B}\Delta } \right) - \frac{1}{9}\left( {{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = \\ \\ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \frac{1}{9}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = \frac{8}{9}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) \\ \\ \\ \end{array} }$

#3

1) Η ΕΘ' είναι παράλληλη προς τη διαγώνιο ΒΔ γιατί:
$\frac{AE}{AB}=\frac{A\Theta '}{A\Delta }=\frac{1}{3}$
όμοια Ζ'Η //ΒΔ. Άρα ΚΝ//ΛΜ. Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ΚΛ//ΝΜ.
Άρα το ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμο.

2) Κατ' αρχήν από την παραλληλία και την τριχοτόμηση των πλευρών του ΑΒΓΔ
δείχνεται εύκολα πως τα τρίγωνα στο σχήμα που έχουν το ίδιο χρώμα είναι ίσα.
Επίσης:
Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΕΘ' και ΑΒΔ προκύπτει:
$\frac{(AE\Theta ')}{(AB\Delta) }=\frac{1}{9}, \frac{(\Gamma Z'H)}{(B\Gamma \Delta) }=\frac{1}{9}$
οι οποίες δίνουν:
$E\pi +E\kappa \iota \tau +E\kappa +E\varrho =\frac{1}{9}E(AB\Gamma \Delta )=\frac{1}{9}E_{1}$
όπου
$E\pi ,E\kappa \iota \tau ,E\kappa ,E\varrho$
τα εμβαδά του πράσινου, κίτρινου, κόκκινου και ροζ τριγώνου.
Άρα:
$E_{\lambda \epsilon \upsilon \kappa o}=E(EE'ZZ'HH'\Theta \Theta \Theta ')=E(AB\Gamma \Delta )-2(E\pi +E\kappa \iota \tau +E\kappa +E\varrho )$
$E_{\lambda \epsilon \upsilon \kappa o}=E_{1}-\frac{2}{9}E_{1}=\frac{7}{9}E_{1}(1)$
Είναι επίσης:
$E_{\lambda \epsilon \upsilon \kappa o}=E(K\Lambda MN)-(E\pi +E\kappa \iota \tau +E\kappa +E\varrho )=E_{2}-\frac{1}{9}E_{1}(2)$
όπου
$E_{2}=E\left(K\Lambda MN \right)$
Από τις (1) και (2) προκύπτει:
$\frac{7}{9}E_{1}=E_{2}-\frac{1}{9}E_{1}\Rightarrow 8E_{1}=9E_{2}$

Είναι ίδια λύση μ' αυτή της Μαργαρίτας

Τετράπλευρο - εμβαδά

Τετράπλευρο - εμβαδά

Re: Τετράπλευρο - εμβαδά

Re: Τετράπλευρο - εμβαδά

Μέλη σε σύνδεση