Τοπικά ακρότατα

#1

Καλημέρα σε όλους
Να βρεθεί το πλήθος των τοπικών ακροτάτων της
$\displaystyle{f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3...(x-n)^n, x \in \mathbb{R}}$ , όπου

ακέραιος >1.

GMANS · #2

Πρόταση
Αν ρ πραγματική ρίζα πολλαπλότητας κ της παραγώγου P ΄ ενός πολυωνύμου P με πραγματικούς συντελεστές τότε

α) Αν κ άρτιος το (ρ, P(ρ)) δεν είναι ακρότατο της P

β) Αν κ περιτός τότε το (ρ, P(ρ)) είναι ακρότατο της P

Απόδειξη
α) Αν κ άρτιος τότε

P΄(χ)= $(x-p)^{k}Q(x),Q(p)\neq 0$

Οπότε υπάρχει διάστημα (ρ-ε, ρ+ε) στο οποίο είναι

$Q(x)\neq 0$

και Q συνεχής οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο έστω Q(x)>0 τότε P ΄(χ)>0
στο (ρ-ε, ρ)ή(ρ, ρ+ε) οπότε η P δεν παρουσιάζει ακρότατο στο ρ (όμοια για Q(x)<0 )

β) Αν κ περιττός τότε

P΄(x)= $(x-p)^{k}Q(x),Q(p)\neq 0$

Οπότε υπάρχει διάστημα (ρ-ε, ρ+ε) στο οποίο είναι

$Q(x)\neq 0$

και Q συνεχής οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο έστω Q(x)>0 οπότε
P΄(χ)<0 στο (ρ-ε, 0) και P΄(χ)>0 στο (0, ρ+ε) οπότε στο (ρ, P(ρ))
η P παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο (όμοια παρουσιάζει τοπικό μέγιστο αν Q(x)<0)

Τώρα στην συγκεκριμένη

(*)Αν κ ένας από τους 1,2,3,…,n-1 τότε η εξίσωση f ΄(x)=0 ;έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (κ, κ+1) (από Rolle) οπότε η εξίσωση f΄(x)=0 έχει n-1 τουλάχιστον ρίζες, τις

$p_{1},p_{2},...,p_{n-1} , 1<p_{1}<2<p_{2}<3<...,n-1<p_{n-1}<n]$

οπότε f΄(x)

$=[(x-2)^{2}(x-3)^{3}...(x-n)^{n}]+[2(x-1)(x-2)(x-3)^{3}...(x-n)^{n}]+...+ [n(x-1)(x-2)^{2}...(x-n)^{n-1}]=(x-2)(x-3)^{2}(x-4)^{3}...(x-n)^{n-1}P(x)$

και λαμβάνοντας υπόψη την (*)

$P(x)=(x-p_{1})(x-p_{2})...(x-p_{n-1})Q(x)$

Τελικά

f΄(x) $=(x-2)(x-3)^{2}...(x-n)^{n-1}(x-p_{1})(x-p_{2})... ..(x-p_{n-1})Q(x)$

Όμως βαθμός της f(x)=1+2+3+ …n=n(n+1)/2
Τότε βαθμός της f ΄(χ)=n(n+1)/2 - 1=(n-1)(n+2)/2
Το πολυώνυμο
$(x-2)(x-3)^{2}...(x-n)^{n-1}(x-p_{1})(x-p_{2})....(x-p_{n-1})$

είναι βαθμού 1+2+3+…+n-1+n-1=(n-1)(n+2)/2
oπότε Q(x)=c=n(n+1)/2 - 1
από (1) έχουμε
-Αν n άρτιος τότε η f παρουσιάζει ακρότατα στα :
$2,4,...,n, p_{1},p_{2},...,p_{n-1}$ πλήθους : n/2 +n-1=(3n-2)/2
-Αν n περιττός τότε η f παρουσιάζει ακρότατα στα :

$2,4,...,n-1, p_{1},p_{2},...,p_{n-1}$

πλήθους : (n-1)/2 +n-1=(3n-3)/2

Ευχαριστώ τον Σπύρο Καπελλίδη για την παρατήρησή του

#3

Αγαπητέ GMANS, αφού σε ευχαριστήσω για την ενασχόληση με το θέμα, να μου επιτρέψεις να κάνω μια μικρή διόρθωση σε ένα σημείο που νομίζω πως έχεις σφάλμα, το οποίο όμως δεν επηρεάζει το τελικό συμπέρασμα

GMANS έγραψε: ...oπότε Q(x)=c=1
...

Το σωστό είναι $Q(x)=\frac {n(n+1)}{2}-1$
Φιλικά

Τοπικά ακρότατα

Τοπικά ακρότατα

Re: Τοπικά ακρότατα

Re: Τοπικά ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση