Παράγωγος - ανισότητα

APOSTOLAKIS · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:[0,+\propto )\rightarrow R$ , δύο φορές παραγωγίσιμη με
$f{''}(x)+2\cdot f(x)\geq 3\cdot f{'}(x)$ για κάθε $x\epsilon [0,+\propto )$ και f(0)=1, f{'}(0)=0

.
Να αποδείξετε ότι $f(x)\geq 2e^{x}-e^{2x}$ για κάθε $x\epsilon [0,+\propto )$ .

Νίκος Αποστολάκης

#2

Έχω:

$\displaystyle{ f''(x) + 2f(x) \ge 3f'(x) \Rightarrow f''(x) - f'(x) - 2(f'(x) - f(x)) \ge 0 }$ (1)

Θέτω

$\displaystyle{ g(x) = f'(x) - f(x) }$

Οπότε η (1) δίνει:

$\displaystyle{ g'(x) - 2g(x) \ge 0 \Rightarrow (e^{ - 2x} g(x))' \ge 0 }$

Συνεπώς η συνάρτηση $\displaystyle{ e^{ - 2x} g(x) }$
είναια αύξουσα στο $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$

Τούτο εστί:

$\displaystyle{ x \ge 0 \Rightarrow e^{ - 2x} g(x) \ge g(0) \Rightarrow e^{ - 2x} (f'(x) - f(x)) \ge - 1,\forall x \in [0, + \infty ) \Rightarrow f'(x) - f(x) \ge - e^{2x} \Rightarrow (e^{ - x} f(x) + e^x )' \ge 0 }$

Δηλαδή η συνάρτηση $\displaystyle{ e^{ - x} f(x) + e^x }$

είναι αύξουσα στο $\displaystyle{ [0, + \infty ) }$

Αρα:

$\displaystyle{ x \ge 0 \Rightarrow e^{ - x} f(x) + e^x \ge 2 \Rightarrow f(x) \ge 2e^x - e^{2x} }$

Παράγωγος - ανισότητα

Παράγωγος - ανισότητα

Re: Παράγωγος - ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση