Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση (Δελτίο Νο:3)

#1

Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\left (\sqrt{2}+1 \right)^{(x+1)^2}+\left (\sqrt{2}-1 \right)^{(x+1)^2}=2}.$

Eukleidis · #2

Αρχικά παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right) = 2 - 1 = 1}$

Ετσι η εξίσωση μετασχηματιζεται στην ισοδυναμη
$\displaystyle{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 2 \Leftrightarrow {a^z} + {a^{ - z}} = 2}$ οπου $\displaystyle{{a^z} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}$
Όμως το άθροισμα δυο αντιστρόφων θετικών είναι πάντα μεγαλύτερο ίσο του 2. Αρα ισχύει το ίσον για $\displaystyle{{a^z} = 1}$
Ετσι $\displaystyle{{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1}$

chris · #3

Χρησιμοποιώντας την γνωστή ανισότητα $a+b\geq 2\sqrt{ab},a,b>0$ έχουμε:

$\displaystyle \left (\sqrt{2}+1 \right)^{(x+1)^2}+\left (\sqrt{2}-1 \right)^{(x+1)^2}\geq 2\sqrt{\left[\left(\sqrt{2}-1 \right)\left(\sqrt{2}+1 \right) \right]^{(x+1)^2}}=2$

άρα ισχύει η ισότητα στη δοθείσα και :
$\displaystyle \left (\sqrt{2}+1 \right)^{(x+1)^2}=\left (\sqrt{2}-1 \right)^{(x+1)^2}\Leftrightarrow \left (\sqrt{2}+1 \right)^{2(x+1)^2}\left=1=\left(\sqrt{2}+1 \right)^0\Leftrightarrow (x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1$

kwstas12345 · #4

Είναι: $\displaystyle \left(\sqrt{2}-1 \right)\left(\sqrt{2}+1 \right)=1\Rightarrow \left(\sqrt{2}-1 \right)=\left(\sqrt{2}+1 \right)^{-1}$ οπότε η δοθείθσα γίνεται: $\displaystyle \left(\sqrt{2}+1 \right)^{\left(x+1 \right)^{2}}+\left(\sqrt{2}+1 \right)^{-\left(x+1 \right)^{2}}=2$

Από ΑΜ-ΓΜ όμως $\displaystyle \left(\sqrt{2}+1 \right)^{\left(x+1 \right)^{2}}+\left(\sqrt{2}+1 \right)^{-\left(x+1 \right)^{2}}\geqslant 2\sqrt{\left(\sqrt{2}+1 \right)^{\left(x+1 \right)^{2}}\cdot\left(\sqrt{2}+1 \right)^{-\left(x+1 \right)^{2}}}= 2$ .

Για να έχουμε ισότητα πρέπει $\displaystyle \left(\sqrt{2}+1 \right)^{\left(x+1 \right)^{2}}=\left(\sqrt{2}+1 \right)^{-\left(x+1 \right)^{2}}\Leftrightarrow x=-1$

#5

Ευχαριστώ για τη συμμετοχή σας.

Μια παραλλαγή της λύσης του Eukleidis είχα υπόψη μου για σχολική χρήση.

Χρήστος Λαζαρίδης · #6

Μία μάλλον απλούστερη προσπάθεια.

$\displaystyle{a^v + \left( {\frac{1}{a}} \right)^v = 2 \Leftrightarrow a^{2v} - 2a^v + 1 = 0 \Leftrightarrow (a^v - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow a^v = 1}$

$\displaystyle{a = \sqrt 2 + 1,v = (x + 1)^2 }$

$\displaystyle{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{(x + 1)^2 } = 1 \Leftrightarrow (x + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1}$

Φιλικά Χρήστος

Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση (Δελτίο Νο:3)

Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση (Δελτίο Νο:3)

Re: Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση

Re: Ενδιαφέρουσα εκθετική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση