Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

#1

Στο θέμα που έστειλε ο Στέλιος Μαρίνης:
viewtopic.php?f=53&t=11640&p=63625#p63625
(που μέσα στην δίνη των δημοσιεύσεων μάλλον ξεχάστηκε)
ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν την ιδιότητα οι εφαπτόμενες που άγονται
από αυτά προς την καμπύλη με εξίσωση $\displaystyle{y = x + \frac{1}{x}}$ να είναι κάθετες. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη αυτή είναι κύκλος.
Τίθεται λοιπόν το ερώτημα:

Θεωρούμε μία κωνική τομή $\gamma$ .
Θεωρούμε τα σημεία Μ από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην $\gamma$ .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ.

Μαυρογιάννης

________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Κωνική, Κωνικές, τομή, τομές, εφαπτομένες, κάθετες

parmenides51 · #2

nsmavrogiannis έγραψε: Θεωρούμε μία κωνική τομή $\gamma$ .
Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle{M}$ από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην $\gamma$ .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\displaystyle{M}$ .

Περίπτωση: Κύκλος
Σε κύκλο με κέντρο $\displaystyle{K}$ κι ακτίνα $\displaystyle{\rho>0}$ ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από εξωτερικό σημείο του $\displaystyle{M}$ είναι ο κύκλος με κέντρο $\displaystyle{K}$ κι ακτίνα $\rho\sqrt{2}$ .

Απόδειξη

Ευθύ
Έστω $\displaystyle{A,B}$ τα σημεία επαφής των κάθετων εφαπτόμενων από το σημείο $\displaystyle{M}$ πρός τον κύκλο $\displaystyle{(K,\rho)}$ .
Θα αποδείξουμε ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ ανήκει στον κύκλο $(K,\rho\sqrt{2}$ ).
Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{A,K,B,M}$ είναι ορθογώνιο γιατί έχει $\displaystyle{3}$ ορθές γωνίες.
Επειδή $\displaystyle{AK=\rho}$ και το τετράπλευρο $\displaystyle{AKMB}$ είναι ορθογώνιο τότε θα έχει διαγώνιο $MK=\rho\sqrt{2}$ από πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle AKM}$ .
Επειδή το σημείο Μ απέχει σταθερή απόσταση $\rho\sqrt{2}$ απο το σημείο $\displaystyle{K}$ , θα ανήκει σε κύκλο με κέντρο $\displaystyle{K(\alpha,\beta )}$ κι ακτίνα $\rho\sqrt{2}$ .

Αντίστροφο
Θεωρούμε τους κύκλους $\displaystyle{(K,\rho)}$ και $\displaystyle{(K,\rho\sqrt{2})$ .
Έστω σημείο

του εξωτερικού κύκλου και A,B

τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων από το σημείο

προς τον κύκλο $(K,\rho)$ .
Θα αποδείξουμε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες είναι κάθετες.
Με πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $\vartriangle AKM$ επειδή $AK=\rho$ και $KM=\rho\sqrt{2}$ προκύπτει ότι $AM=\rho$ .
Τα εφαπτόμενα τμήματα από σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα οπότε $BM=AM=\rho$ .
Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία A,K,B,M

είναι ρόμβος επειδή έχει

πλευρές ίσες, τις $AK=KM=BM=BK=\rho$ .
κι επειδή έχει μία ορθή, είναι ορθογώνιο.
Άρα η γωνία των εφαπτόμενων είναι ορθή, δηλαδή οι εφαπτόμενες που άγονται από τα σημεία

είναι κάθετες προς τον κύκλο $(K,\rho)$ .

Υ.Γ. Να με συγχωρήσετε για το παιδικό σχήμα, κάποια στιγμή θα ασχοληθώ με το Geogebra.

edit: Διόρθωση $\displaystyle{\LaTeX}$

parmenides51 · #3

Περίπτωση: Έλλειψη
Σε έλλειψη με εστίες $\displaystyle{E,E'}$ και μήκος μεγάλου άξονα $\displaystyle{AA'=2\alpha>0}$ , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από εξωτερικό σημείο της $\displaystyle{M}$ είναι ο κύκλος με κέντρο το μέσο των εστιών κι ακτίνα $\rho=\sqrt{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}$ (όπου μήκος μικρού άξονα $\displaystyle{BB'=2\beta>0}$ ).

Απόδειξεις
εδώ κι εδώ

Οι παραπάνω αποδείξεις αναφέρονται σε έλλειψη με κέντρο την αρχή την αξόνων.
Οποιαδήποτε έλλειψη μετασχηματίζεται στη παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.

edit: Διόρθωση $\displaystyle{\LaTeX}$

parmenides51 · #4

Περίπτωση: Υπερβολή
Σε υπερβολή με εστίες $\displaystyle{E,E'}$ και απόσταση κορυφών $\displaystyle{AA'=2\alpha >0}$ , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από σημείο $\displaystyle{M}$ είναι ο κύκλος με κέντρο το μέσο των εστιών κι ακτίνα $\rho=\sqrt{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}$ (όπου $\alpha>\beta =\sqrt{\gamma^{2}-\alpha ^{2}}>0$ ).

Απόδειξη
ευθύ κι αντίστροφο

Οι παραπάνω αποδείξεις αναφέρονται σε υπερβολή με κέντρο την αρχή την αξόνων.
Οποιαδήποτε υπερβολή μετασχηματίζεται στη παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.

edit: Διόρθωση $\displaystyle{\LaTeX}$

parmenides51 · #5

Περίπτωση: Παραβολή
Σε παραβολή με εστία $\displaystyle{E}$ και διευθετούσα $\displaystyle{(\delta )}$ , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από σημείο $\displaystyle{M}$ εκτός παραβολής είναι η διευθετούσα $\displaystyle{(\delta )}$ .

Απόδειξη
ευθύ κι αντίστροφο

Η παραπάνω απόδειξη αναφέρεται σε παραβολή της μορφής $\displaystyle{y^2=2px}$ με p>0

.
Οποιαδήποτε παραβολή μετασχηματίζεται στην παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.

Υ.Γ. Το παρόν θέμα ''κάθετες εφαπτομένες κωνικής'' καλύφθηκε πλήρως.
Αν κάποιος έχει κάποια άλλη απόδειξη στο μυαλό του, ας την μοιραστεί μαζί μας στην καταλληλη παραπομπή.

edit: Διόρθωση $\displaystyle{\LaTeX}$

Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής

Μέλη σε σύνδεση