Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

propaid · #1

Η ευθεία $\varepsilon:x+1998y=4$ ανήκει στην οικογένεια των ευθειών $(x+y-4)+\lambda(x-3y-4)=0$
Ενώ διέρχεται απ΄το κοινό σημείο της οικογένειας εντούτοις δεν υπάρχει τιμή του $\lambda$ που να μας δίνει την ευθεία $\varepsilon$ .
Τελικά τι ισχύει;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

#2

Ανήκει στην οικογένεια των ευθειών για $\displaystyle{\lambda=-\frac{1.997}{2.001}}.$

propaid · #3

Ευχαριστώ, τελικά είχα κάνει λάθος στις πράξεις.

KARKAR · #4

Συμπληρωματικό ερώτημα :

Η "διαβολική" ευθεία 666x-1998y-2664=0

, διέρχεται ασφαλώς από το σημείο (4,0)

.

Ανήκει στην οικογένεια ; Εξηγείστε την απάντησή σας !

propaid · #5

Η διαβολική ευθεία είναι η χ-3ψ-4=0 που ενώ διέρχεται απ' το σημείο (4,0) εντούτοις δεν ανήκει στην οικογένεια, αφού δεν υπάρχει τιμή του λ που να την δημιουργεί.

A.Spyridakis · #6

propaid έγραψε:Η διαβολική ευθεία είναι η χ-3ψ-4=0 που ενώ διέρχεται απ' το σημείο (4,0) εντούτοις δεν ανήκει στην οικογένεια, αφού δεν υπάρχει τιμή του λ που να την δημιουργεί.

Σωστά.
Συμπέρασμα: Οικογένεια (ή δέσμη) ευθείων που διέρχονται από σταθερό σημείο, δεν σημαίνει κάλυψη ΟΛΟΥ του επιπέδου από τις συγκεκριμένες ευθείες (γι' αυτό και τη λέμε "οικογένεια", αλλιώς θα τη λέγαμε... "κοινωνία"!

).

Χρήστος Λαζαρίδης · #7

propaid έγραψε:Η ευθεία ε:χ+1998ψ=4 ανήκει στην οικογένεια των ευθειών (χ+ψ-4)+λ(χ-3ψ-4)=0;
Ενώ διέρχεται απ΄το κοινό σημείο της οικογένειας εντούτοις δεν υπάρχει τιμή του λ που να μας δίνει την ευθεία ε.
Τελικά τι ισχύει;
Ευχαριστώ εκ των προτέρων.

Μήπως βοηθάει αυτό:
viewtopic.php?f=23&t=11324
Δηλαδή η ευθεία που πολλαπλασιάζεται με το λ,δεν προκύπτει από την οικογένεια!

Φιλικά Χρήστος

tasosjs · #8

πως προκύπτει για λ=-1997/2001

A.Spyridakis · #9

tasosjs έγραψε:πως προκύπτει για λ=-1997/2001

Κοίτα: Οι ευθείες $ax+by+c=0, \ \ kx+ly+m=0, klm \neq0$ ταυτίζονται αν και μόνο αν : $\displaystyle \frac{a}{k}=\frac{b}{l}=\frac{c}{m}$ .

Ιστοσελίδα · #10

Όπως επισήμανε και ο Αντώνης

A.Spyridakis έγραψε:Συμπέρασμα: Οικογένεια (ή δέσμη) ευθείων που διέρχονται από σταθερό σημείο, δεν σημαίνει κάλυψη ΟΛΟΥ του επιπέδου από τις συγκεκριμένες ευθείες

Ένα ακόμα,τέτοιο, παράδειγμα είναι το παρακάτω:
H οικογένεια των ευθειών $\left( {{\lambda ^2} + \lambda + 2} \right)x - \left( {{\lambda ^2} + 1} \right)y + \left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0$ όπου $\lambda \in R$ διέρχεται από το σημείο $\left( {0,1} \right)$ , αλλά «καλύπτει» ένα μέρος του επιπέδου όπως φαίνεται στο πρώτο σχέδιο. Αυτό συμβαίνει επειδή όπως επεσήμαναν και άλλοι συνάδελφοι, για κάθε ευθεία που διέρχεται από το $\left( {0,1} \right)$ δεν υπάρχει απαραίτητα τιμή του $\lambda$ που να τη «δημιουργεί»
Μια ακόμα εξήγηση με χρήση συναρτήσεων είναι ότι αν γράψουμε την ευθεία στη μορφή $\displaystyle{y = \frac{{{\lambda ^2} + \lambda + 2}}{{{\lambda ^2} + 1}}x + 1}$ και πάρουμε τη συνάρτηση των συντελεστών διεύθυνσης $\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} + 1}}}$ , αυτή έχει σύνολο τιμών ένα διάστημα και όχι το

όπως φαίνεται στο δεύτερο σχέδιο.
Μ.

A.Spyridakis · #11

Πολύ ωραία τα σχήματά σου Μίλτο. Και άκρως κατατοπιστικά για το θέμα που συζητάμε.

Και μια συνέχεια, στο δικό σου παράδειγμα:
Αν θεωρήσουμε τις οικογένειες ευθειών
$(a_{1}): \ \ \ \left( {{\lambda ^2} + \lambda + 2} \right)x - \left( {{\lambda ^2} + 1} \right)y + \left( {{\lambda ^2} + 1} \right) = 0,\ \ \lambda \in \mathbb{R}$ και
$(a_{2}): \ \ \ \left( {{\mu ^2} + \mu + 2} \right)x + \left( {{\mu ^2} + 1} \right)y - \left( {{\mu ^2} + 1} \right) = 0,\ \ \mu \in \mathbb{R}$
τότε και οι δύο διέρχονται από το σημείο (0,1), αλλά δεν υπάρχει ΚΑΜΙΑ κοινή ευθεία των δύο οικογενειών.

Ιστοσελίδα · #12

A.Spyridakis έγραψε:Πολύ ωραία τα σχήματά σου Μίλτο. Και άκρως κατατοπιστικά για το θέμα που συζητάμε.

Ευχαριστώ Αντώνη
Έπρεπε να τα στείλω νωρίτερα αλλά ο χρόνος είναι πολύ περιορισμένος, παρά το ότι έχουμε διακοπές.
Μίλτος

#13

A.Spyridakis έγραψε:
propaid έγραψε:Η διαβολική ευθεία είναι η χ-3ψ-4=0 που ενώ διέρχεται απ' το σημείο (4,0) εντούτοις δεν ανήκει στην οικογένεια, αφού δεν υπάρχει τιμή του λ που να την δημιουργεί.

Σωστά.
Συμπέρασμα: Οικογένεια (ή δέσμη) ευθείων που διέρχονται από σταθερό σημείο, δεν σημαίνει κάλυψη ΟΛΟΥ του επιπέδου από τις συγκεκριμένες ευθείες (γι' αυτό και τη λέμε "οικογένεια", αλλιώς θα τη λέγαμε... "κοινωνία"!

).[/quote]

Αντώνη, αυτό δεν το είχα σκεφτεί!!!

Απίθανο!!

('ολα δικά σου!!)

Να είσαι πάντα καλά!!!

KARKAR · #14

Ωραία συζήτηση πριν από μια δεκαετία !

Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Re: Απορία στην γενική εξίσωση ευθείας.

Μέλη σε σύνδεση