Ελαχιστοποίηση

venpan · #1

Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\sqrt {\alpha + \beta}(\frac {1}{\sqrt{\alpha}}+\frac{1}{\sqrt{\beta}})$ αν $\alpha,\beta \in R$ με $\alpha > 0, \beta >0$ . Πότε παίρνει την ελάχιστη αυτή τιμή;

Περιμένω και λύση με ανάλυση
Βενάρδος Παντελής

A.Spyridakis · #2

Όταν $\alpha = \beta$ με ελάχιστη τιμή $2\sqrt{2}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

kwstas12345 · #3

Είναι από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ : $\displaystyle \sqrt{\frac{a+b}{2}}\geqslant \frac{1}{2}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)$ αφού με ύψωση στο τετράγωνο καταλήγει στην $\displaystyle a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$ .

Επίσης $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\geqslant \frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ αφού από ΑΜ-ΓΜ $\displaystyle \left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)^{2}\geqslant 4\sqrt{ab}\Rightarrow \left(\sqrt{a}-\sqrt{b} \right)^{2}\geqslant 0$ .

Άρα $\displaystyle \sqrt{a+b}\left(\frac{1}{\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{b}}\right)\geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left(\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} \right)=2\sqrt{2}$ και πιάνεται όταν a=b

diomides · #4

επισης με παραγωγους θεωρωντας την συναρτηση
$f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}$

#5

Ή

Θεωρώ τη συνάρτηση $f(x)=\frac {1}{\sqrt{x}},x>0$

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η δευτερη παράγωγος της συνάρτησης είναι θετική για κάθε x>0

, άρα η συνάρτηση είναι

κυρτή, οπότε από την ανισότητα Jensen

$\frac {\frac {1}{\sqrt{a}}+\frac {1}{\sqrt{b}}}{2} \ge \frac {1}{\sqrt{\frac {a+b}{2}}}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac {a+b}{2}}(\frac {1}{\sqrt{a}}+\frac {1}{\sqrt{b}}) \ge 2\sqrt{2}$

Το= ισχύει για a=b

Φιλικά

Ελαχιστοποίηση

Ελαχιστοποίηση

Re: Ελαχιστοποίηση

Re: Ελαχιστοποίηση

Re: Ελαχιστοποίηση

Re: Ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση