συνεχης κ 1-1. Ειναι γν μονοτονη...

Xydakis.S · #1

Καλησπερα σας και χρονια πολλα,
θελω να ρωτησω αν για μια f ξερουμε οτι ειναι συνεχης σε ενα διαστημα Δ και οτι ειναι 1-1 Πως μπορουμε απλα να αποδειξουμε οτι ειναι γν. μονοτονη συναρτηση ???

Ευχαριστω
εκ των προτερων
Σηφης Ξυδακης

chris · #2

Η απόδειξη υπάρχει σε πολλά βιβλία και σίγουρα και στο

.Την παραθέτω μέχρι να βρει κάποιος σε ποίο φάκελο είναι.

$\bullet$ Αρκεί να αποδείξουμε οτι για οποιαδήποτε $a,b,c \in \Delta$ με a<b<c

θα είναι:

ή f(a)<f(b)<f(c)

ή

.

Έστω οτι για a<b<c

είναι $f(a)<f(c)<f(b)\;\;(1)$ .

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [a,b]

και $f(a) \neq f(b)$ και άρα $f(c) \in ( f(a),f(b) )$

Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει $x_0\in (a,b)$ τέτοιο ώστε: f(x_0)=f(c)

και αφού η

είναι "1-1" έχουμε x_0=c

και άρα $c \in (a,b)$ που είναι άτοπο αφού a<b<c

.

Ομοίως και για τις άλλες περιπτώσεις.

#3

Xydakis.S έγραψε:Καλησπερα σας και χρονια πολλα,
θελω να ρωτησω αν για μια f ξερουμε οτι ειναι συνεχης σε ενα διαστημα Δ και οτι ειναι 1-1 Πως μπορουμε απλα να αποδειξουμε οτι ειναι γν. μονοτονη συναρτηση ???

Υπόδειξη: Αν δεν ήταν μονότονη θα υπήρχαν a < b < c

τέτοια ώστε (χωρίς βλάβη)
$f(a) < f(b), \, f(b) > f(c)$ . Απο Bolzano βρες $p \in [a, b], q \in [b,c]$ με f(p) = f(q)

.

Μ.

Ουπς, με πρόλαβε ο Χρήστος.

Xydakis.S · #4

πολυ ωραια λυση και απλη...
Ευχαριστώ

συνεχης κ 1-1. Ειναι γν μονοτονη...

συνεχης κ 1-1. Ειναι γν μονοτονη...

Re: συνεχης κ 1-1. Ειναι γν μονοτονη...

Re: συνεχης κ 1-1. Ειναι γν μονοτονη...

Re: συνεχης κ 1-1. Ειναι γν μονοτονη...

Μέλη σε σύνδεση